Каковы значения m, при которых прямая с уравнением y=m пересекает график функции y=x^2+6x+9 в одной или двух общих

Ledyanaya_Roza

60

Чтобы найти значения \(m\), при которых прямая \(y=m\) пересекает график функции \(y=x^2+6x+9\) в одной или двух общих точках, нам нужно найти точки пересечения уравнений \(y=m\) и \(y=x^2+6x+9\).

Для начала, составим уравнение, используя заданную функцию: \(y=x^2+6x+9\). Затем приравняем его к \(y=m\), чтобы найти точки пересечения.

\[x^2+6x+9 = m\]

Для того, чтобы уравнение имело одну или две общие точки, дискриминант этого уравнения (\(D\)) должен быть ненулевым или положительным.

Запишем формулу дискриминанта: \(D = b^2 - 4ac\), где \(a = 1\), \(b = 6\), и \(c = 9-m\).

Теперь подставим значения \(a\), \(b\), и \(c\) в формулу и вычислим дискриминант:

\[D = 6^2 - 4(1)(9-m)\]
\[D = 36 - (36 - 4m)\]
\[D = 36 - 36 + 4m\]
\[D = 4m\]

Теперь рассмотрим два возможных случая:

1. Когда прямая \(y = m\) пересекает график функции \(y = x^2 + 6x + 9\) в одной точке (\(D = 0\)):

Чтобы найти значение \(m\), когда у нас есть только одна общая точка, мы должны приравнять \(D\) к нулю и решить уравнение:

\[D = 4m = 0\]

Решая это уравнение, мы получаем:

\[m = 0\]

Таким образом, прямая \(y = 0\) будет пересекать график функции \(y = x^2 + 6x + 9\) в одной точке.

2. Когда прямая \(y = m\) пересекает график функции \(y = x^2 + 6x + 9\) в двух точках (\(D > 0\)):

Чтобы найти значения \(m\), когда у нас есть две общие точки, мы должны найти значения \(m\), для которых \(D\) больше нуля:

\[D > 0\]
\[4m > 0\]

Так как \(4 > 0\), то для любого положительного значения \(m\) дискриминант \(D\) будет больше нуля, что означает, что прямая \(y = m\) будет пересекать график функции \(y = x^2 + 6x + 9\) в двух точках.

Таким образом, значения \(m\), при которых прямая \(y = m\) пересекает график функции \(y = x^2 + 6x + 9\) в одной или двух общих точках, зависят от двух случаев:
1. \(m = 0\)
2. \(m > 0\)