Сколько общих пересадочных станций нужно построить, чтобы в городском метро было 101 линия и каждые две линии

Глеб

38

Чтобы решить эту задачу, мы можем использовать принцип сочетаний. Для начала рассмотрим, сколько общих пересадочных станций нужно построить для случая с двумя линиями. Мы можем представить каждую линию как отдельное множество станций, и нам нужно найти количество пересечений между этими множествами.

Известно, что каждые две линии пересекаются только на одной станции. Поэтому каждое пересечение требует построения одной станции. Для двух линий у нас будет одно пересечение, значит, нам нужно построить одну общую пересадочную станцию.

Теперь давайте перейдем к случаю с 101 линией. Для этого случая мы можем применить тот же принцип. Каждая линия будет представлена отдельным множеством станций, и нам нужно найти количество пересечений между ними. Мы знаем, что каждые две линии пересекаются только на одной станции.

Так как у нас есть 101 линия, то у нас будет \(\binom{101}{2}\) пересечений двух линий. Здесь \(\binom{101}{2}\) обозначает количество сочетаний из 101 элементов по 2. По формуле комбинаторики \(\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}\), где \(n!\) обозначает факториал числа n.

Применяя формулу для \(\binom{101}{2}\), мы получаем:

\[\binom{101}{2} = \frac{101!}{2!(101-2)!} = \frac{101!}{2!99!}\]

К счастью, мы можем упростить это выражение. Факториал числа можно представить как произведение последовательных целых чисел от 1 до этого числа. Нам нужно упростить \(\frac{101!}{2!99!}\):

\[\frac{101!}{2!99!} = \frac{101 \cdot 100 \cdot 99!}{2 \cdot 1 \cdot 99!} = 101 \cdot 100\]

Таким образом, у нас будет 10100 пересечений двух линий в городском метро с 101 линией. Каждое пересечение требует построения одной станции, поэтому нам понадобится 10100 общих пересадочных станций.

Теперь перейдем ко второй части задачи. Нам нужно найти количество станций, где три линии встречаются. Согласно условию, таких станций не может быть больше одной.

Мы можем использовать принцип комбинаторики для этого. Для трех линий у нас будет \(\binom{101}{3}\) сочетаний, так как нужно выбрать три линии из 101. Применим формулу для \(\binom{101}{3}\):

\[\binom{101}{3} = \frac{101!}{3!(101-3)!} = \frac{101!}{3!98!}\]

Аналогично упростим это выражение:

\[\frac{101!}{3!98!} = \frac{101 \cdot 100 \cdot 99 \cdot 98!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 98!} = \frac{101 \cdot 100 \cdot 99}{3 \cdot 2 \cdot 1}\]

Вычислив это выражение, мы получим:

\[\frac{101 \cdot 100 \cdot 99}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 336700\]

Таким образом, у нас будет 336700 станций, где три линии пересекаются в городском метро.

В итоге, чтобы удовлетворить условия задачи, нам нужно построить 10100 общих пересадочных станций, где две линии пересекаются, и одну станцию, где три линии пересекаются.