Какие значения параметра а обеспечивают системе y(y-7)=xy-5(x+2

Ястребка

54

Давайте решим данную систему уравнений и найдем значения параметра а. Начнем с того, чтобы раскрыть скобки в обоих частях уравнения:

\[y(y-7) = xy - 5(x+2)\]

Раскрывая скобки, получим:

\[y^2 - 7y = xy - 5x - 10\]

Далее, сгруппируем все члены с переменными \(x\) и \(y\) в левую часть уравнения:

\[xy - 5x - y^2 + 7y - 10 = 0\]

Теперь видим, что у нас есть квадратное уравнение относительно переменных \(x\) и \(y\). Чтобы решить его, используем квадратное уравнение подобного вида \(ax^2 + bx + c = 0\). В нашем уравнении это:

\[xy - 5x - y^2 + 7y - 10 = 0\]

Поэтому, мы можем представить его в виде:

\[y(x-7) - (x-7) = 10\]

Далее, факторизуем коэффициенты при переменных \(x\) и \(y\):

\[(y-1)(x-7) = 10\]

Теперь, давайте рассмотрим различные значения параметра \(a\). Подставим значение параметра \(a = 1\) и решим уравнение:

\[(y-1)(x-7) = 10\]

Если \(a = 1\), то \(y-1 = x-7 = 10\) или \((y-1)(x-7) = 10\)

Решая это уравнение, получаем две возможные пары решений:

1) Когда \(y-1 = 10\) и \(x-7 = 1\), получаем \(y = 11\) и \(x = 8\).
2) Когда \(y-1 = 1\) и \(x-7 = 10\), получаем \(y = 2\) и \(x = 17\).

Таким образом, когда \(a = 1\), система имеет два решения: (8, 11) и (17, 2).

Теперь рассмотрим случай, когда параметр \(a\) отличен от 1. Подставим произвольное значение \(a\) и решим уравнение:

\[(y-1)(x-7) = a \cdot 10\]

Такое уравнение имеет бесконечное количество решений в виде \(x = 7 + \frac{{a \cdot 10}}{{y-1}}\), где \(y \neq 1\).

Таким образом, для всех значений параметра \(a\), кроме 1, система имеет бесконечное количество решений, зависящих от переменной \(y\).

Итак, чтобы ответить на ваш вопрос, значения параметра а, обеспечивающие системе \(y(y-7)=xy-5(x+2)\) х, это \(a = 1\) или \(a \neq 1\).