Какие значения переменной t делают выражение √(t−7)(t+6) осмысленным?

Маня_6339

12

Для того чтобы выражение \(\sqrt{(t-7)(t+6)}\) было осмысленным, подкоренное выражение \((t-7)(t+6)\) должно быть неотрицательным. Нам нужно найти значения переменной \(t\), при которых это условие выполняется.

Первым шагом решим неравенство \((t-7)(t+6) \geq 0\). Чтобы это сделать, построим таблицу знаков, для чего определим критические значения переменной \(t\), при которых произведение \((t-7)(t+6)\) равно нулю или изменяет свой знак:

\[
\begin{array}{|c|c|c|c|}
\hline
& t < -6 & -6 < t < 7 & t > 7 \\
\hline
(t-7) & - & - & + \\
\hline
(t+6) & - & + & + \\
\hline
(t-7)(t+6) & + & - & + \\
\hline
\end{array}
\]

Исходя из таблицы знаков, мы видим, что выражение \((t-7)(t+6)\) положительно, когда переменная \(t\) находится либо в интервале \((-6, 7)\), либо вне интервала \((- \infty, -6) \cup (7, +\infty)\).

Теперь найдем значения переменной \(t\), которые делают подкоренное выражение \((t-7)(t+6)\) равным нулю. Для этого приравняем \((t-7)(t+6)\) к нулю и решим полученное уравнение:

\[
(t-7)(t+6) = 0
\]

Если один из множителей равен нулю, то произведение будет равно нулю. Решим уравнения \((t-7) = 0\) и \((t+6) = 0\):

\[
\begin{align*}
t-7 &= 0 \\
t &= 7 \\
\end{align*}
\]

\[
\begin{align*}
t+6 &= 0 \\
t &= -6 \\
\end{align*}
\]

Таким образом, значения переменной \(t\), которые делают выражение \(\sqrt{(t-7)(t+6)}\) осмысленным, равны \(t = -6\) и \(t = 7\). Выражение будет иметь смысл при этих значениях переменной. В остальных случаях, когда \(t\) принимает значения в интервале \((- \infty, -6) \cup (-6, 7) \cup (7, +\infty)\), подкоренное выражение становится отрицательным, и в результате получаем комплексные числа, что не является осмысленным в контексте этой задачи.