Какой элемент последовательности pn=13n+2/n является наибольшим?

Медведь_2673

59

Для решения этой задачи, нам необходимо вычислить значение каждого элемента последовательности и найти наибольший. Давайте начнем:

1. Найдем значение первого элемента последовательности \(p_1\). Подставим \(n = 1\) в формулу:
\[p_1 = 13 \cdot 1 + \frac{2}{1} = 13 + 2 = 15\]

2. Теперь найдем значение второго элемента последовательности \(p_2\). Подставим \(n = 2\) в формулу:
\[p_2 = 13 \cdot 2 + \frac{2}{2} = 26 + 1 = 27\]

3. Продолжим по аналогии и найдем следующие значения:
\[p_3 = 13 \cdot 3 + \frac{2}{3} = 39 + \frac{2}{3} = 39.\overline{6}\]
\[p_4 = 13 \cdot 4 + \frac{2}{4} = 52 + 0.5 = 52.5\]
\[p_5 = 13 \cdot 5 + \frac{2}{5} = 65 + 0.4 = 65.4\]

4. Продолжаем подсчитывать значения для \(n = 6, 7, 8, \ldots\) и так далее, пока не найдем наибольший элемент последовательности.

Мы видим, что значения последовательности увеличиваются при увеличении значения \(n\). Поскольку мы не можем перебрать все значения \(n\) вручную, давайте воспользуемся аналитическим методом для определения наибольшего элемента.

Эта последовательность представляет собой комбинацию линейной и дробно-рациональной функции. Чтобы найти максимальный элемент, мы можем проанализировать поведение последовательности при увеличении значения \(n\).

Обратим внимание, что линейная часть \(13n\) будет расти бесконечно, поэтому она будет доминировать в зачениях последовательности при достаточно большом \(n\). С другой стороны, дробно-рациональная часть \(\frac{2}{n}\) будет стремиться к нулю при увеличении значения \(n\).

На основе этого наблюдения мы можем сделать вывод, что наибольшим элементом последовательности будет являться значение, когда линейная часть \(13n\) максимальна и дробно-рациональная часть \(\frac{2}{n}\) минимальна.

Так как линейная функция увеличивается с ростом \(n\), то для нахождения наибольшего значения необходимо выбрать наибольшее значение \(n\), а именно \(n = \infty\). Это означает, что наибольшим элементом последовательности будет являться:

\[p_{\text{max}} = \lim_{{n \to \infty}} \left(13n + \frac{2}{n}\right)\]

У нас получается, что наибольшим элементом последовательности будет бесконечность, поскольку линейная функция \(13n\) будет расти бесконечно при \(n \to \infty\). Таким образом, можно сказать, что в данной последовательности нет наибольшего элемента.

Надеюсь, данное пошаговое решение помогло вам понять, как получить ответ на данную задачу. Если у вас есть дополнительные вопросы, пожалуйста, спрашивайте!