Какие значения переменной x удовлетворяют неравенству (7-x)(x-3)(x+2

Zvezdopad_V_Kosmose

16

Чтобы найти значения переменной \(x\), которые удовлетворяют неравенству \((7-x)(x-3)(x+2) < 0\), мы можем использовать метод интервалов и некоторые правила знаков.

1. Разбиение числовой оси на интервалы:
Разобьем числовую ось на четыре интервала: \((-\infty, -2)\), \((-2, 3)\), \((3, 7)\) и \((7, +\infty)\).

2. Определение знаков на каждом интервале:
Найдем знаки выражения \((7-x)(x-3)(x+2)\) на каждом интервале, подставив значения из интервалов в выражение:

- Для интервала \((-\infty, -2)\): Подставим значение \(-3\) (любое значение меньше -2) и получим \((-)(-)(-)\), что дает отрицательное значение.
- Для интервала \((-2, 3)\): Подставим значение \(0\) (любое значение между -2 и 3) и получим \((+)(-)(+)\), что дает положительное значение.
- Для интервала \((3, 7)\): Подставим значение \(5\) (любое значение между 3 и 7) и получим \((+)(+)(+)\), что также дает положительное значение.
- Для интервала \((7, +\infty)\): Подставим значение \(8\) (любое значение больше 7) и получим \((+)(+)(+)\), что снова дает положительное значение.

3. Определение значений \(x\), удовлетворяющих неравенству:
Значение \(x\) будет удовлетворять неравенству, если соответствующий интервал содержит корень неравенства. Исходя из знаков, полученных на предыдущем шаге, мы можем сделать следующие выводы:

- На интервале \((-\infty, -2)\) все значения \(x\) являются решениями неравенства.
- На интервале \((-2, 3)\) нет решений, так как выражение \((+)(-)(+)\) является положительным.
- На интервале \((3, 7)\) все значения \(x\) являются решениями неравенства.
- На интервале \((7, +\infty)\) нет решений, так как выражение \((+)(+)(+)\) также является положительным.

Таким образом, значения переменной \(x\), удовлетворяющие данному неравенству, - это все числа на интервалах \((-\infty, -2)\) и \((3, 7)\). В математической записи это можно представить следующим образом: \(-\infty < x < -2\) или \(3 < x < 7\).