Какие значения принимает функция f(x)=x2-2x при x=-6 и x=2? Каковы нули функции f(x)? Какая область определения функции

Yarilo

34

Функция \(f(x) = x^2 - 2x\) задается квадратным уравнением. Давайте рассчитаем ее значения для \(x = -6\) и \(x = 2\).

Для \(x = -6\) мы подставим \(-6\) вместо \(x\) в выражение \(f(x)\):

\(f(-6) = (-6)^2 - 2 \cdot (-6)\)

Выполняя вычисления, получаем:

\(f(-6) = 36 + 12 = 48\)

Таким образом, при \(x = -6\) функция \(f(x)\) равна \(48\).

Аналогично, для \(x = 2\) мы подставим \(2\) вместо \(x\) в выражение \(f(x)\):

\(f(2) = 2^2 - 2 \cdot 2\)

Раскрывая скобки и выполняя вычисления, получаем:

\(f(2) = 4 - 4 = 0\)

Таким образом, при \(x = 2\) функция \(f(x)\) равна \(0\).

Теперь давайте найдем нули функции \(f(x)\). Нули функции \(f(x)\) - это значения \(x\), при которых \(f(x) = 0\).

Для нахождения нулей функции \(f(x)\), мы должны решить уравнение \(f(x) = 0\):

\(x^2 - 2x = 0\)

Это квадратное уравнение можно решить факторизацией:

\(x(x - 2) = 0\)

Таким образом, значения \(x\) равны \(x = 0\) и \(x = 2\).

Область определения функции \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) - это множество значений \(x\), для которых функция определена.

Чтобы найти область определения функции \(f(x)\), мы должны решить следующее уравнение:

\(x^2 - 4x + 3 \geq 0\)

Чтобы решить это неравенство, давайте найдем критические точки, т.е. значения \(x\), при которых функция равна нулю.

Раскрывая скобки и приравнивая уравнение к нулю, мы получаем:

\(x^2 - 4x + 3 = 0\)

Это квадратное уравнение можно решить факторизацией:

\((x - 1)(x - 3) = 0\)

Таким образом, критическими точками являются \(x = 1\) и \(x = 3\).

Мы можем построить график функции \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) и определить область значений, промежуток убывания и множество решений неравенства \(f(x) > 0\).

Для графика и анализа, нам будет полезно найти вершину параболы. В данном случае, парабола имеет такое же уравнение вида \(y = ax^2 + bx + c\), где \(a = 1\), \(b = -4\) и \(c = 3\). Формула для нахождения вершины параболы с координатами \((h, k)\) выглядит следующим образом:

\(h = -\frac{b}{2a}\)

\(k = f(h)\)

Подставляя значения \(a\), \(b\) и \(c\) в формулу, мы получаем:

\(h = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = -\frac{-4}{2} = 2\)

\(k = f(2) = 2^2 - 4 \cdot 2 + 3 = 4 - 8 + 3 = -1\)

Таким образом, вершина параболы имеет координаты \((2, -1)\).

Набросаем таблицу значений для \(f(x)\) от \(x = -\infty\) до \(x = \infty\):

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
x & f(x) \\
\hline
-\infty & +\infty \\
\hline
-1 & 8 \\
\hline
0 & 3 \\
\hline
1 & 0 \\
\hline
2 & -1 \\
\hline
3 & 0 \\
\hline
4 & 3 \\
\hline
5 & 8 \\
\hline
+\infty & +\infty \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь мы можем нарисовать график функции \(f(x) = x^2 - 4x + 3\):

\[
\begin{array}{c|c}
x & f(x) \\
\hline
-\infty & +\infty \\
\hline
4 & 3 \\
\hline
2 & -1 \\
\hline
+\infty & +\infty \\
\end{array}
\]

График функции будет выглядеть следующим образом:

\[Картинка графика функции t(x) = x^2 - 4x + 3\]

Область значений функции \(f(x)\) - это множество значений \(y\), которые функция может принимать. Из графика функции можно увидеть, что область значений функции \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) - это все числа \(y \leq 3\), так как график функции не поднимается выше точки \((2, -1)\).

Промежуток убывания функции \(f(x)\) - это интервал значений \(x\), при которых функция убывает. Из графика можно видеть, что функция \(f(x) = x^2 - 4x + 3\) убывает на промежутке \((-\infty, 2)\), так как значения функции уменьшаются по мере приближения к точке \((2, -1)\).

Наконец, решим неравенство \(f(x) > 0\). Мы знаем, что функция \(f(x)\) равна \(0\) при \(x = 1\) и \(x = 3\). Из графика можно видеть, что функция \(f(x)\) положительна на интервалах \((- \infty, 1)\) и \((3, + \infty)\), так как значения функции на этих интервалах находятся выше оси \(x\).

Таким образом, множество решений неравенства \(f(x) > 0\) - это интервалы \((-\infty, 1)\) и \((3, +\infty)\).