Какие значения соответствуют коэффициентам a, b, c и d в уравнении ax3+bx2+cx+d=0, если известно, что его корнями

Маня_935

69

Данное уравнение представляет собой кубическое уравнение вида \(ax^3+bx^2+cx+d=0\), где \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) - коэффициенты. Нам дано, что корнями уравнения являются 1, \(\frac{{-1 \pm 3}}{2}\).

Чтобы найти значения коэффициентов, мы можем использовать свойство кубического уравнения, согласно которому, если \(x = r\) является корнем кубического уравнения, то \(x - r\) является его множителем.

Итак, у нас есть корни 1, \(\frac{{-1 + 3}}{2}\) и \(\frac{{-1 - 3}}{2}\). Рассмотрим каждый корень по отдельности.

1. Корень 1:
Если \(x = 1\) является корнем уравнения, то \((x-1)\) должен быть множителем. Таким образом, у нас есть:
\((x-1) = 0\) или \((x-1)\) - множитель.

2. Корень \(\frac{{-1 + 3}}{2}\):
Если \(x = \frac{{-1 + 3}}{2}\) является корнем уравнения, то \((x-\frac{{-1 + 3}}{2})\) должен быть множителем. Упрощая это выражение, получим:
\((x-\frac{{-1 + 3}}{2}) = 0\) или \((x-\frac{{1}}{2}) = 0\) или \((x-\frac{{1}}{2})\) - множитель.

3. Корень \(\frac{{-1 - 3}}{2}\):
Если \(x = \frac{{-1 - 3}}{2}\) является корнем уравнения, то \((x-\frac{{-1 - 3}}{2})\) должен быть множителем. Упрощая это выражение, получаем:
\((x-\frac{{-1 - 3}}{2}) = 0\) или \((x-\frac{{-4}}{2}) = 0\) или \((x+\frac{{4}}{2}) = 0\) или \((x+2) = 0\) или \((x+2)\) - множитель.

Теперь, чтобы найти значения коэффициентов, мы можем умножить все множители вместе. Имеем:
\((x-1)(x-\frac{{1}}{2})(x+2) = 0\).

На этом этапе у нас есть все множители, но нам нужно привести их к стандартному виду \(ax^3+bx^2+cx+d=0\). Чтобы сделать это, мы можем перемножить множители и раскрыть скобки.

Выполняя эти операции, мы получаем:
\(ax^3+bx^2+cx+d = (x-1)(x-\frac{{1}}{2})(x+2) = 0\).

Таким образом, значениями коэффициентов \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) являются:
\(a = 1\), \(b = -\frac{{5}}{2}\), \(c = \frac{{3}}{2}\) и \(d = 0\).

Итак, уравнение \(ax^3+bx^2+cx+d=0\) с корнями 1, \(\frac{{-1 \pm 3}}{2}\) имеет следующие значения коэффициентов: \(a = 1\), \(b = -\frac{{5}}{2}\), \(c = \frac{{3}}{2}\) и \(d = 0\).