Какие значения углов треугольника АВС, если стороны АВ, ВС и АС равны соответственно 6см, 9см и 3см?

Григорьевич

46

Для решения этой задачи нам понадобится знание теоремы косинусов, которая позволяет нам найти значение угла треугольника, если известны длины всех его сторон.

Теорема косинусов гласит:
\[c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(C)\]
Где:
\(c\) - длина стороны противолежащей углу \(C\)
\(a, b\) - длины двух других сторон треугольника
\(C\) - величина интересующего нас угла треугольника

В данной задаче у нас известны длины сторон \(AB = 6\) см, \(BC = 9\) см и \(AC = 3\) см.

Мы будем искать значения всех трех углов треугольника ABC.

1. Найдем значение угла \(A\):

Для этого мы можем использовать теорему косинусов. Подставим известные значения в формулу:
\[6^2 = 9^2 + 3^2 - 2 \cdot 9 \cdot 3 \cdot \cos(A)\]

Упростим:
\[36 = 81 + 9 - 54 \cdot \cos(A)\]
\[36 = 90 - 54 \cdot \cos(A)\]

Теперь найдем значение \(\cos(A)\):
\[-54 \cdot \cos(A) = 36 - 90\]
\[-54 \cdot \cos(A) = -54\]
\[\cos(A) = -54 / -54\]
\[\cos(A) = 1\]

Так как косинус угла \(A\) равен единице, то угол \(A\) является прямым углом (90 градусов).

2. Найдем значение угла \(B\):

Для этого мы также можем использовать теорему косинусов. Подставим известные значения в формулу:
\[9^2 = 6^2 + 3^2 - 2 \cdot 6 \cdot 3 \cdot \cos(B)\]

Упростим:
\[81 = 36 + 9 - 36 \cdot \cos(B)\]
\[81 = 45 - 36 \cdot \cos(B)\]

Теперь найдем значение \(\cos(B)\):
\[-36 \cdot \cos(B)= 81 - 45\]
\[-36 \cdot \cos(B)= 36\]
\[\cos(B)= 36 / -36\]
\[\cos(B)= -1\]

Так как косинус угла \(B\) равен минус единице, то угол \(B\) также является прямым углом.

3. Найдем значение угла \(C\):

Мы можем просто вычислить его, используя тот факт, что сумма всех углов в треугольнике равна 180 градусам:
\(A + B + C = 180\)
\(90 + 90 + C = 180\)
\(C = 180 - 90 - 90\)
\(C = 0\)

Таким образом, угол \(C\) также равен нулю градусов.

Итак, мы нашли значения всех трех углов треугольника АВС: \(A = 90^\circ\), \(B = 90^\circ\), \(C = 0^\circ\). Этот треугольник является прямоугольным с одним прямым углом и двумя прямыми углами.