Какие значения x должны быть для того, чтобы производная функции f(x)=1+2/x была положительной?

Viktoriya

42

Для того чтобы найти значения x, при которых производная функции f(x) = 1 + 2/x положительна, нам потребуется использовать определение производной и анализировать ее знак.

Пусть \(f"(x)\) - производная функции \(f(x)\).

Согласно определению производной, производная функции \(f(x)\) в точке \(x\) равняется пределу отношения приращения функции к приращению аргумента, когда то приращение аргумента стремится к нулю:

\[f"(x) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}}\]

Давайте применим это определение к нашей функции \(f(x) = 1 + \frac{2}{x}\):

\[f"(x) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{f(x + \Delta x) - f(x)}}{{\Delta x}} = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{(1 + \frac{2}{{x+\Delta x}}) - (1 + \frac{2}{x})}}{{\Delta x}}\]

Упростим это выражение:

\[f"(x) = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{\frac{{2x + 2\Delta x - (2x + 2)}}{{x(x+\Delta x)}}}}{{\Delta x}} = \lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{2x + 2\Delta x - 2}}{{x(x+\Delta x)\Delta x}}\]

Затем мы можем упростить дробь, подставив \(\Delta x = 0\):

\[f"(x) = \frac{{2x - 2}}{{x^2 \cdot 0}} = \frac{{2x - 2}}{{0}}\]

Обратите внимание, что полученная дробь содержит деление на ноль. Это указывает на то, что производная функции \(f(x)\) не является определенной при \(x = 0\). То есть, функция \(f(x) = 1 + \frac{2}{x}\) не имеет производной при \(x = 0\).

Для того чтобы производная функции была положительной, значение производной должно быть больше нуля. То есть, мы должны найти значения \(x\), при которых \(f"(x) > 0\).

Так как у нас возникла проблема с \(x = 0\), воспользуемся интервальным анализом и рассмотрим два случая:

1) \(x > 0\):
В этом случае в знаменателе у нас будут положительные значения, ведь \(x\) и \(x + \Delta x\) будут положительными. То есть, знак производной будет зависеть только от числителя:
\(2x - 2 > 0\) (чтобы производная была положительной)
Решая это неравенство, получим:
\(x > 1\)

2) \(x < 0\):
Для отрицательного значения \(x\) знаменатель будет положительным. В этом случае знак производной меняется при переходе через \(x = 0\). То есть, при \(x < 0\) производная будет отрицательной.

Итак, для того чтобы производная функции \(f(x) = 1 + \frac{2}{x}\) была положительной, необходимо, чтобы \(x > 1\).

Резюмируя, значения \(x\), при которых производная функции \(f(x) = 1 + \frac{2}{x}\) положительна, это \(x > 1\).