Какие значения x нужно найти для выполнения неравенства с второй степенью: x^2 - 4x - 5

Дмитрий

33

Для решения неравенства второй степени \(x^2 - 4x - 5\) мы должны найти значения \(x\), которые делают это неравенство истинным. Для этого мы можем использовать два метода: графический и алгебраический. Давайте начнем с графического метода.

1. Графический метод:
Для решения неравенства \(x^2 - 4x - 5 < 0\) мы строим график функции \(y = x^2 - 4x - 5\). Затем мы ищем интервалы на оси \(x\), где график функции находится ниже оси \(y\) (то есть где \(y < 0\)). Эти интервалы будут содержать значения \(x\), которые удовлетворяют неравенству. Давайте найдем эти интервалы:

Сначала найдем вершину графика функции:
Формула для нахождения вершины параболы с соответствующими коэффициентами \(a\), \(b\), и \(c\) в нормальной форме \(ax^2 + bx + c\) имеет вид:
\(x = -\frac{b}{2a}\), \(y = f(x)\).

Для нашего случая, \(a = 1\), \(b = -4\), \(c = -5\).

Подставляя значения в формулу, получаем:
\(x = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2\), \(y = 2^2 - 4 \cdot 2 - 5 = -9\).

Теперь у нас есть вершина графика функции, которая имеет координаты (2,-9).

Чтобы найти интервалы, где график находится ниже оси \(y\), мы продолжаем строить график функции по соседним точкам и исследуем значения функции на промежутках между ними.

Для неравенства \(x^2 - 4x - 5 < 0\) мы исследуем значения функции на промежутках до и после вершины графика функции.

- Перед вершиной графика функции (левая сторона):
Подставляем значения, которые находятся слева от вершины, в формулу \(y = x^2 - 4x - 5\) и проверяем, будет ли \(y\) отрицательным:
Подставим \(x = 0\): \(y = 0^2 - 4 \cdot 0 - 5 = -5\). Значит, интервал \(-\infty < x < 2\) является решением.

- После вершины графика функции (правая сторона):
Подставляем значения, которые находятся справа от вершины, в формулу \(y = x^2 - 4x - 5\) и проверяем, будет ли \(y\) отрицательным:
Подставим \(x = 3\): \(y = 3^2 - 4 \cdot 3 - 5 = -7\). Значит, интервал \(2 < x < \infty\) является решением.

В итоге, все значения \(x\), которые удовлетворяют неравенству \(x^2 - 4x - 5 < 0\), находятся в интервалах \(-\infty < x < 2\) и \(2 < x < \infty\).

2. Алгебраический метод:
Второй метод заключается в нахождении корней квадратного уравнения \(x^2 - 4x - 5 = 0\). Затем мы исследуем интервалы между этими корнями, чтобы определить значения \(x\), удовлетворяющие неравенству \(x^2 - 4x - 5 < 0\).

Для нашего квадратного уравнения \(x^2 - 4x - 5 = 0\), мы можем найти корни с помощью факторизации, завершающего квадратного трехчлена \(x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1) = 0\). Получаем два корня: \(x = 5\) и \(x = -1\).

Затем мы исследуем значения между корнями и определяем знаки функции \(y = x^2 - 4x - 5\) на этих интервалах.

- Между \(-1\) и \(5\): Выбираем точку \(x = 0\) и подставляем в уравнение \(y = 0^2 - 4 \cdot 0 - 5 = -5\). Значит, интервал \(-1 < x < 5\) является решением.

- Вне интервала \((-1, 5)\): Выбираем точку \(x = -2\) и подставляем в уравнение \(y = (-2)^2 - 4 \cdot (-2) - 5 = 5\). Значит, интервалы \((-\infty, -1)\) и \((5, \infty)\) также являются решением.

Таким образом, все значения \(x\), которые удовлетворяют неравенству \(x^2 - 4x - 5 < 0\), находятся в интервалах \((-1, 5)\), \((-\infty, -1)\) и \((5, \infty)\).

При желании вы можете представить ответ в виде объединения интервалов: \((-1, 5)\) объединенное с \((-\infty, -1)\) объединенное с \((5, \infty)\).