Какие значения x соответствуют точкам на графике функции у = f(x), в которых касательная имеет параллельное направление

Солнечный_Бриз

26

Чтобы найти значения \(x\), соответствующие точкам на графике функции \(y = f(x)\), где касательная имеет параллельное направление с прямой \(y = kx\), мы должны использовать свойство того, что касательная к функции имеет тот же угловой коэффициент, что и данная прямая.

Начнем с вычисления производной функции \(f(x)\):
\[f"(x) = \frac{d}{dx}(x(x+1))\]

Для вычисления производной произведения функций, мы можем использовать правило производной произведения:
\[f"(u \cdot v) = u" \cdot v + u \cdot v"\]

Применяя это правило к нашей функции \(f(x) = x(x+1)\), мы получим:
\[f"(x) = (x" \cdot (x+1)) + (x \cdot (x+1)")\]

Вычисляя производные слагаемых, получим:
\[f"(x) = (1 \cdot (x+1)) + (x \cdot (1))\]
\[f"(x) = x + 1 + x\]

Таким образом, производная функции \(f(x)\) равна:
\[f"(x) = 2x + 1\]

Теперь мы знаем, что касательная к функции \(f(x)\) имеет угловой коэффициент \(2x + 1\).

Для параллельной прямой \(y = kx\), угловой коэффициент этой прямой равен \(k\). В нашем случае \(k = 3\).

Теперь мы можем приравнять угловые коэффициенты касательной и параллельной прямой и решить уравнение:
\[2x + 1 = 3x\]

Перенесем слагаемое с \(3x\) на другую сторону уравнения:
\[2x - 3x = -1\]
\[-x = -1\]

Умножим обе части уравнения на -1 для упрощения:
\[x = 1\]

Таким образом, значение \(x = 1\) соответствует точкам на графике функции \(y = f(x)\), в которых касательная имеет параллельное направление с прямой \(y = 3x\).

Для проверки, мы можем подставить значение \(x = 1\) в функцию \(f(x)\) и убедиться, что полученная точка имеет такое же направление касательной:
\[f(1) = 1 \cdot (1+1) = 2\]
Таким образом, точка \((1, 2)\) на графике функции \(y = f(x)\) соответствует условию задачи.