Какие значения x удовлетворяют квадратному неравенству?

Zhiraf

3

Конечно! Для начала, чтобы решить квадратное неравенство, мы должны привести его к каноническому виду \( ax^2 + bx + c > 0 \), где \( a \), \( b \), и \( c \) - коэффициенты квадратного уравнения.

Пусть дано квадратное неравенство \( x^2 - 5x + 6 > 0 \). Нам нужно найти значения \( x \), для которых это неравенство выполняется.

Шаг 1: Факторизуем выражение в левой части неравенства.
\( x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) > 0 \).

Шаг 2: Рассмотрим знаки выражения \( (x - 2) \) и \( (x - 3) \).
Мы знаем, что произведение двух чисел положительно только тогда, когда оба эти числа имеют одинаковый знак. Также, положительное число раз на положительное число даст положительное произведение.

Мы должны рассмотреть три случая:
1) Оба множителя положительны.
Если \( (x - 2) > 0 \) и \( (x - 3) > 0 \), это означает, что \( x > 2 \) и \( x > 3 \). Следовательно, \( x > 3 \) (так как это более ограничительное условие).

2) Оба множителя отрицательны.
Если \( (x - 2) < 0 \) и \( (x - 3) < 0 \), это означает, что \( x < 2 \) и \( x < 3 \). Следовательно, \( x < 2 \) (так как это более ограничительное условие).

3) Один множитель положителен, а другой отрицателен. Это невозможно, так как в таком случае произведение будет отрицательным.

Шаг 3: Объединяем полученные результаты.
Мы знаем, что неравенство должно быть выполнено, когда \( x > 3 \) или \( x < 2 \). То есть, решением данного квадратного неравенства является интервал \( x \in (-\infty, 2) \cup (3, +\infty) \).

Таким образом, значения \( x \), удовлетворяющие заданному квадратному неравенству, являются любыми числами, меньшими 2 или большими 3.