Какие значения x удовлетворяют неравенству: (x-2)(x+9)(x-1)(x-9)?

Yuzhanin

52

Чтобы найти значения x, удовлетворяющие данному неравенству, нужно проанализировать каждый множитель их произведения и определить условия, при которых каждый из них будет положительным, отрицательным или равным нулю.

1. Рассмотрим множитель (x-2):
Когда (x-2) > 0, то есть x > 2, данный множитель будет положительным.
Когда (x-2) = 0, то есть x = 2, данный множитель будет равен нулю.
Когда (x-2) < 0, то есть x < 2, данный множитель будет отрицательным.

2. Рассмотрим множитель (x+9):
Когда (x+9) > 0, то есть x > -9, данный множитель будет положительным.
Когда (x+9) = 0, то есть x = -9, данный множитель будет равен нулю.
Когда (x+9) < 0, то есть x < -9, данный множитель будет отрицательным.

3. Рассмотрим множитель (x-1):
Когда (x-1) > 0, то есть x > 1, данный множитель будет положительным.
Когда (x-1) = 0, то есть x = 1, данный множитель будет равен нулю.
Когда (x-1) < 0, то есть x < 1, данный множитель будет отрицательным.

4. Рассмотрим множитель (x-9):
Когда (x-9) > 0, то есть x > 9, данный множитель будет положительным.
Когда (x-9) = 0, то есть x = 9, данный множитель будет равен нулю.
Когда (x-9) < 0, то есть x < 9, данный множитель будет отрицательным.

Теперь, чтобы выяснить значения x, удовлетворяющие неравенству, необходимо проверить все возможные комбинации положительных и отрицательных множителей.

1) Если все множители положительны:
(x-2) > 0, (x+9) > 0, (x-1) > 0, (x-9) > 0.
Можем сказать, что нужно найти значения x, которые больше 2, -9, и 1, и больше 9.
Таким образом, x > 9.

2) Если три множителя положительны и один отрицательный:
Здесь мы исключаем случай, когда один из множителей равен нулю, так как это повлечет за собой равенство произведения нулю.
Поэтому, нам подходят следующие случаи:

a) x > 2, (x+9) > 0, (x-1) > 0, (x-9) < 0.
Мы знаем, что x > 2 и x > 9, так как (x-9) отрицательный, и x будет больше 9.
Следовательно, x > 9.

b) x > 2, (x+9) > 0, (x-1) < 0, (x-9) > 0.
Мы знаем, что x > 2 и x < 1, так как (x-1) отрицательный, и x будет меньше 1.
Следовательно, нет значений x, удовлетворяющих этому случаю.

3) Если два множителя положительны и два отрицательных:
Здесь также исключаем случай, когда один из множителей равен нулю.
Рассмотрим возможные случаи:

a) x > 2, (x+9) > 0, (x-1) < 0, (x-9) < 0.
Мы знаем, что x > 2 и x < 1, так как (x-1) и (x-9) отрицательные.
Поэтому 2 < x < 9.

b) x < 2, (x+9) > 0, (x-1) > 0, (x-9) < 0.
Мы знаем, что x < 2 и x > 1, так как (x-1) положительный.
Поэтому нет значений x, удовлетворяющих этому случаю.

c) x < 2, (x+9) > 0, (x-1) < 0, (x-9) > 0.
Мы знаем, что x < 2 и x < 1, так как (x-1) и (x-9) отрицательные.
Поэтому x < 2.

4) Если один множитель положительный и три отрицательных:
Здесь также исключаем случай, когда один из множителей равен нулю.
Рассмотрим возможные случаи:

a) x > 2, (x+9) < 0, (x-1) < 0, (x-9) < 0.
Мы знаем, что x > 2 и x < 9, так как (x-9) отрицательный.
Поэтому 2 < x < 9.

b) x < 2, (x+9) < 0, (x-1) < 0, (x-9) > 0.
Мы знаем, что x < 2 и x < 9, так как (x-9) положительный.
Поэтому x < 9.

c) x < 2, (x+9) < 0, (x-1) > 0, (x-9) < 0.
Мы знаем, что x < 2 и x > 1, так как (x-1) положительный.
Поэтому нет значений x, удовлетворяющих этому случаю.

d) x < 2, (x+9) < 0, (x-1) < 0, (x-9) < 0.
Мы знаем, что x < 2 и x < 9, так как (x-9) отрицательный.
Поэтому x < 2.

Итак, на основе наших вычислений, мы можем сделать следующие выводы:

x > 9: значения x больше 9
2 < x < 9: значения x, которые больше 2, но меньше 9
x < 2: значения x, которые меньше 2

Таким образом, ответом на задачу является неравенство:
\[x > 9 \ \text{или} \ 2 < x < 9 \ \text{или} \ x < 2\]