Какие значения x удовлетворяют системе неравенств x2-3x

Димон_3376

22

Чтобы найти значения \(x\), которые удовлетворяют системе неравенств \(x^2 - 3x < 2\), мы должны решить данное неравенство.

Для начала, перенесем все члены в левую сторону неравенства:

\(x^2 - 3x - 2 < 0\)

Это квадратное неравенство. Чтобы найти его решение, нам нужно провести анализ функции \(f(x) = x^2 - 3x - 2\).

Прежде всего, найдем корни этой квадратной функции, т.е. значения \(x\), при которых \(f(x) = 0\):

\(x^2 - 3x - 2 = 0\)

Для решения этого уравнения мы можем использовать формулу дискриминанта:

\(D = b^2 - 4ac\)

где \(a = 1\), \(b = -3\) и \(c = -2\). Подставив значения в формулу, получаем:

\(D = (-3)^2 - 4(1)(-2) = 9 + 8 = 17\)

Так как дискриминант \(D\) больше нуля (\(D > 0\)), то у нас есть два различных вещественных корня \(x_1\) и \(x_2\). Чтобы найти их значения, мы используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения:

\(x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\)

Подставив значения в формулу, получаем:

\(x_{1,2} = \frac{-(-3) \pm \sqrt{17}}{2 \cdot 1} = \frac{3 \pm \sqrt{17}}{2}\)

Теперь у нас есть значения корней \(x_1\) и \(x_2\), и мы можем использовать их для нахождения решения неравенства \(x^2 - 3x - 2 < 0\).

Чтобы построить график функции \(f(x) = x^2 - 3x - 2\), найдем вершина параболы. Вершина параболы имеет координаты \(\left(\frac{-b}{2a}, f\left(\frac{-b}{2a}\right)\right)\).

В нашем случае \(a = 1\) и \(b = -3\), поэтому:

\(x_{\text{вершины}} = \frac{-(-3)}{2 \cdot 1} = \frac{3}{2} = 1.5\)

и

\(f(x_{\text{вершины}}) = f(1.5) = (1.5)^2 - 3(1.5) - 2 = 2.25 - 4.5 - 2 = -4.25\)

Теперь мы знаем координаты вершины параболы, и мы можем использовать эту информацию для построения графика функции \(f(x) = x^2 - 3x - 2\).

Определение знака функции \(f(x)\) в разных интервалах поможет нам найти решение неравенства \(x^2 - 3x - 2 < 0\).

Составим таблицу значений и определим знак функции в каждом из интервалов:

\[
\begin{array}{|c|c|}
\hline
\text{Интервал} & f(x) \\
\hline
(-\infty, \frac{3-\sqrt{17}}{2}) & + \\
\hline
\frac{3-\sqrt{17}}{2} & -4.25 \\
\hline
(\frac{3-\sqrt{17}}{2}, \frac{3+\sqrt{17}}{2}) & + \\
\hline
\frac{3+\sqrt{17}}{2} & -4.25 \\
\hline
(\frac{3+\sqrt{17}}{2}, +\infty) & + \\
\hline
\end{array}
\]

Теперь мы знаем, что функция \(f(x)\) положительна в двух интервалах и отрицательна в одном интервале. Наша задача состоит в нахождении значений \(x\), при которых \(f(x) < 0\).

Исходя из таблицы знаков, решение неравенства \(x^2 - 3x - 2 < 0\) будет следующим:

\(\frac{3-\sqrt{17}}{2} < x < \frac{3+\sqrt{17}}{2}\)

Таким образом, значения \(x\), которые удовлетворяют данной системе неравенств, лежат в интервале \(\frac{3-\sqrt{17}}{2} < x < \frac{3+\sqrt{17}}{2}\).

Надеюсь, это подробное решение помогло вам понять, как найти значения \(x\), удовлетворяющие данной системе неравенств.