При каком значении параметра b уравнение x + bx = b^2 - b - 2 имеет несчетное количество решений?

Chupa_2205

48

Чтобы определить, при каком значении параметра \(b\) уравнение \(x + bx = b^2 - b - 2\) имеет несчетное количество решений, нам необходимо решить это уравнение и проанализировать полученный результат.

Давайте начнем с решения уравнения. Разложим \(b^2 - b - 2\) в левой части уравнения:

\[x + bx = b^2 - b - 2\]
\[x + bx = (b - 2)(b + 1)\]

Теперь перенесем все слагаемые на одну сторону уравнения:

\[x + bx - (b - 2)(b + 1) = 0\]

Для того, чтобы иметь несчетное количество решений, это квадратное уравнение должно иметь бесконечно много решений. Но квадратное уравнение может иметь бесконечное количество решений только если его дискриминант равен нулю.

Дискриминант \(D\) квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле \(D = b^2 - 4ac\).

В нашем случае, \(a = 1\), \(b = b + 1\), \(c = -(b - 2)\). Подставим эти значения в формулу для дискриминанта:

\[D = (b + 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot -(b - 2)\]
\[D = (b + 1)^2 + 4(b - 2)\]

Теперь, чтобы уравнение имело бесконечное количество решений, необходимо, чтобы его дискриминант равнялся нулю:

\[(b + 1)^2 + 4(b - 2) = 0\]

Раскроем скобки:

\[b^2 + 2b + 1 + 4b - 8 = 0\]
\[b^2 + 6b - 7 = 0\]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

Дискриминант \(D = b^2 - 4ac\):

\[D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7)\]
\[D = 36 + 28\]
\[D = 64\]

Так как дискриминант \(D\) больше нуля, уравнение имеет два различных рациональных корня. Значит, уравнение будет иметь конечное количество решений для любого значения параметра \(b\), кроме тех случаев, когда дискриминант \(D\) равен нулю.

Таким образом, чтобы уравнение имело несчетное количество решений, значение параметра \(b\) должно быть таким, чтобы дискриминант \(D\) был равен нулю.

\[D = 0\]
\[b^2 + 6b - 7 = 0\]

Вычислим корни этого уравнения:

\[b_1 = \frac{-6 + \sqrt{0}}{2} = -3\]
\[b_2 = \frac{-6 - \sqrt{0}}{2} = -3\]

Таким образом, при значении параметра \(b = -3\) уравнение \(x + bx = b^2 - b - 2\) будет иметь несчетное количество решений.