Какие значения x удовлетворяют уравнению 10х²+7=-17х?

Nikolay

18

Для решения данного уравнения с квадратным членом, мы должны привести его к стандартному квадратному виду \(ax^2 + bx + c = 0\), где коэффициенты \(a\), \(b\) и \(c\) известны.

Давайте приведем данное уравнение к стандартной форме. У нас есть уравнение \(10x^2 + 7 = -17x\). Для начала, добавим \(17x\) к обеим сторонам уравнения:

\[10x^2 + 17x + 7 = 0\]

Теперь у нас есть уравнение в стандартной форме. Мы можем решить его, используя факторизацию, полное квадратное разложение или квадратное уравнение.

Для данного уравнения, давайте воспользуемся факторизацией. Мы должны найти два числа, которые умножаются в произведение 70 и складываются в сумму 17 (так как коэффициент при \(x\) равен 17).

Разложим 70 на все возможные пары множителей:
\(70 = 1 \cdot 70\)
\(70 = 2 \cdot 35\)
\(70 = 5 \cdot 14\)
\(70 = 7 \cdot 10\)

Таким образом, когда мы складываем их, мы видим, что 7 и 10 дают нам сумму 17. Следовательно, мы можем разложить коэффициент при \(x\) на \(7x\) и \(10x\).

Перепишем уравнение с использованием факторизации:
\[10x^2 + 17x + 7 = (2x + 7)(5x + 1) = 0\]

Теперь мы можем найти значения \(x\) путем приравнивания каждого фактора к нулю:

\[2x + 7 = 0 \quad \text{или} \quad 5x + 1 = 0\]

Для первого фактора \(2x + 7 = 0\), вычтем 7 с обеих сторон уравнения и разделим на 2:

\[2x = -7 \quad \implies \quad x = -\frac{7}{2}\]

Для второго фактора \(5x + 1 = 0\), вычтем 1 с обеих сторон уравнения и разделим на 5:

\[5x = -1 \quad \implies \quad x = -\frac{1}{5}\]

Итак, получаем два значения \(x\), удовлетворяющих заданному уравнению:
\(x = -\frac{7}{2}\) и \(x = -\frac{1}{5}\).