Какие значения x удовлетворяют уравнению (-3sinx)/sinx-1=2cos^2x?

Vulkan

9

Давайте решим данную тригонометрическую задачу:

\[
\frac{{-3 \sin x}}{{\sin x}} - 1 = 2 \cos^2 x
\]

Сначала упростим выражение в левой части уравнения:

\[
-3 - 1 \sin x = 2 \cos^2 x
\]

Заменим \(\cos^2 x\) на \(1 - \sin^2 x\) с использованием тригонометрической тождества \(\cos^2 x + \sin^2 x = 1\):

\[
-3 - \sin x = 2 - 2 \sin^2 x
\]

Теперь приведем уравнение к квадратному виду. Перенесем все термины в одну сторону:

\[
2 \sin^2 x - \sin x - 1 = 0
\]

Факторизуем это квадратное уравнение:

\[
(2 \sin x + 1)(\sin x - 1) = 0
\]

Так как мы ищем значения \(x\), то решим каждый из двух множителей равенства отдельно:

1) \(2 \sin x + 1 = 0\)

Выразим \(\sin x\):

\[
2 \sin x = -1
\]
\[
\sin x = -\frac{1}{2}
\]

Значение \(\sin x = -\frac{1}{2}\) соответствуют двум углам: \(-\frac{\pi}{6}\) и \(-\frac{7\pi}{6}\) в пределах \(2\pi\).

2) \(\sin x - 1 = 0\)

Выразим \(\sin x\):

\[
\sin x = 1
\]

Значение \(\sin x = 1\) соответствует углу \(\frac{\pi}{2}\) в пределах \(2\pi\).

Таким образом, значения \(x\), удовлетворяющие уравнению \(\frac{{-3 \sin x}}{{\sin x}} - 1 = 2 \cos^2 x\) равны \(-\frac{\pi}{6}\), \(-\frac{7\pi}{6}\) и \(\frac{\pi}{2}\) в пределах \(2\pi\).