Какие значения x удовлетворяют уравнению tgx=−1 в интервале (-270°;270°)? Запиши все корни в порядке возрастания

Ябеда_6013

26

Данное уравнение имеет вид \(\tan(x) = -1.\) Чтобы найти значения \(x\) удовлетворяющие этому уравнению в интервале \((-270°;270°),\) нам необходимо найти все значения \(x\), на которых тангенс равен -1.

Тангенс - это функция, которая выражается отношением противоположного катета к прилежащему катету в прямоугольном треугольнике. Мы можем использовать это свойство для поиска значений \(x.\)

Первый шаг - найти угол, при котором тангенс равен -1. Этот угол называется обратным тангенсом -1, обозначим его как \(\alpha.\) Мы можем найти значение \(\alpha\) с помощью функции "обратный тангенс" (или арктангенс) в калькуляторе или таблице значений. Получается \(\alpha = -45°.\)

Теперь мы можем использовать свойство периодичности тангенса, чтобы найти остальные значения \(x\), удовлетворяющие уравнению.

Тангенс повторяет свое значение через каждые \(180°,\) поэтому для интервала \((-270°;270°)\) мы можем добавлять или вычитать кратное \(180°.\) В нашем случае каждое \(180°\) будет создавать новое значение \(x.\)

Таким образом, значения \(x\) удовлетворяющие уравнению \(\tan(x) = -1\) в интервале \((-270°;270°)\) можно записать:

\[x_1 = -45°, \quad x_2 = 135°, \quad x_3 = 315°.\]

Поэтому, корни уравнения \(\tan(x) = -1\) в указанном интервале следующие: \(x_1 = -45°, x_2 = 135°, x_3 = 315°.\) Эти значения записаны в порядке возрастания.