Какие значения x удовлетворяют условию, что расстояние между соответствующими точками графиков функций [tex]5^{x+2

  • 40
Какие значения x удовлетворяют условию, что расстояние между соответствующими точками графиков функций [tex]5^{x+2} +10*5^{x} =7[/tex] и [tex]2^{2x+3} -2^{x+1} -2^{0} =0[/tex] является меньшим?
Vechnaya_Mechta_3473
12
Для начала решим каждое из уравнений отдельно.

Первое уравнение:

\[5^{x+2} +10 \cdot 5^x = 7\]

Для упрощения этого уравнения, мы можем заменить \(5^x\) на переменную \(u\). Тогда уравнение примет вид:

\[5^2u + 10u = 7\]

Решим это уравнение:
\[25u + 10u = 7\]
\[35u = 7\]
\[u = \frac{7}{35}\]
\[u = \frac{1}{5}\]

Теперь рассмотрим второе уравнение:

\[2^{2x+3} - 2^{x+1} - 2^0 = 0\]

Для упрощения этого уравнения, мы можем заменить \(2^x\) на переменную \(v\). Тогда уравнение примет вид:

\[2^{2v+6} - 2^{v+2} -1 = 0\]

Теперь мы можем решить это уравнение:

\[(2^v)^2 \cdot 2^6 - (2^v)^1 \cdot 2^2 - 1 = 0\]
\[4v^2 \cdot 64 - 2v \cdot 4 - 1 = 0\]
\[256v^2 - 8v - 1 = 0\]

Мы можем применить квадратное уравнение для решения этого:

\[v = \frac{-(-8) \pm \sqrt{(-8)^2 - 4 \cdot 256 \cdot -1}}{2 \cdot 256}\]
\[v = \frac{8 \pm \sqrt{64 + 1024}}{512}\]
\[v = \frac{8 \pm \sqrt{1088}}{512}\]
\[v = \frac{8 \pm 8\sqrt{17}}{512}\]
\[v = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{64}\]

Теперь, чтобы найти значения \(x\), удовлетворяющие условию, что расстояние между соответствующими точками графиков функций меньше, мы должны сравнить значения \(u\) и \(v\).

Мы имеем:

\[u = \frac{1}{5}\]
\[v = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{64}\]

Значение \(v\) может быть как положительным, так и отрицательным, но нам нужно найти только те значения \(x\), при которых расстояние между точками графиков меньше. То есть, нам нужно найти значения \(x\), при которых \(u < v\).

Подставим значения \(u = \frac{1}{5}\) и \(v = \frac{1 \pm \sqrt{17}}{64}\) в неравенство:

\[\frac{1}{5} < \frac{1 \pm \sqrt{17}}{64}\]

Для положительного значения \(v\):

\[\frac{1}{5} < \frac{1 + \sqrt{17}}{64}\]
\[\frac{64}{5} < 1 + \sqrt{17}\]
\[\frac{64}{5} - 1 < \sqrt{17}\]
\[\frac{59}{5} < \sqrt{17}\]

Для отрицательного значения \(v\):

\[\frac{1}{5} < \frac{1 - \sqrt{17}}{64}\]
\[\frac{64}{5} < 1 - \sqrt{17}\]
\[\frac{64}{5} - 1 < -\sqrt{17}\]
\[\frac{59}{5} < -\sqrt{17}\]

Итак, значения \(x\), удовлетворяющие условию, что расстояние между соответствующими точками графиков функций является меньшим, задаются неравенством \(\frac{59}{5} < \sqrt{17}\).