Какова площадь четырёхугольника, который изображён на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рисунок)?

Yak

25

Хорошо, давайте рассмотрим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Изучим изображение четырёхугольника на клетчатой бумаге. Если я правильно понимаю, четырёхугольник имеет следующие вершины: A(2,5), B(6,3), C(8,6) и D(3,7).

Шаг 2: Вычислим длины сторон четырёхугольника с использованием координат вершин. Для этого применим формулу расстояния между двумя точками на плоскости: $d=\sqrt{(x_2-x_1{)}^2+(y_2-y_1{)}^2}$.

- Длина стороны AB: $d_{AB}=\sqrt{(6-2{)}^2+(3-5{)}^2}=\sqrt{16+4}=\sqrt{20}$.
- Длина стороны BC: $d_{BC}=\sqrt{(8-6{)}^2+(6-3{)}^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}$.
- Длина стороны CD: $d_{CD}=\sqrt{(3-8{)}^2+(7-6{)}^2}=\sqrt{25+1}=\sqrt{26}$.
- Длина стороны DA: $d_{DA}=\sqrt{(3-2{)}^2+(7-5{)}^2}=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$.

Шаг 3: Применим формулу для вычисления площади четырёхугольника, известной как "формула площади Гаусса":

$S=\frac{1}{2}|(x_1{y}_2+x_2{y}_3+x_3{y}_4+x_4{y}_1)-(y_1{x}_2+y_2{x}_3+y_3{x}_4+y_4{x}_1)|$.

Здесь $x_1,x_2,x_3,x_4$ - координаты вершин по оси абсцисс (x), а $y_1,y_2,y_3,y_4$ - координаты вершин по оси ординат (y).

Подставим значения координат из нашего примера:

$S=\frac{1}{2}|(2\cdot 3+6\cdot 6+8\cdot 7+3\cdot 5)-(5\cdot 6+3\cdot 8+6\cdot 5+7\cdot 2)|$.

$S=\frac{1}{2}|(6+36+56+15)-(30+24+30+14)|$.

$S=\frac{1}{2}|113-98|$.

$S=\frac{1}{2}|15|$.

$S=\frac{1}{2}\cdot 15$.

$S=7.5$.

Шаг 4: Ответ: Площадь данного четырёхугольника составляет 7.5 квадратных сантиметров.