Какова площадь четырёхугольника, который изображён на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см × 1 см (см. рисунок)?

Yak

25

Хорошо, давайте рассмотрим эту задачу пошагово.

Шаг 1: Изучим изображение четырёхугольника на клетчатой бумаге. Если я правильно понимаю, четырёхугольник имеет следующие вершины: A(2,5), B(6,3), C(8,6) и D(3,7).

Шаг 2: Вычислим длины сторон четырёхугольника с использованием координат вершин. Для этого применим формулу расстояния между двумя точками на плоскости: \(d=\sqrt{{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}}\).

- Длина стороны AB: \(d_{AB}=\sqrt{{(6-2)^2+(3-5)^2}}=\sqrt{{16+4}}=\sqrt{{20}}\).
- Длина стороны BC: \(d_{BC}=\sqrt{{(8-6)^2+(6-3)^2}}=\sqrt{{4+9}}=\sqrt{{13}}\).
- Длина стороны CD: \(d_{CD}=\sqrt{{(3-8)^2+(7-6)^2}}=\sqrt{{25+1}}=\sqrt{{26}}\).
- Длина стороны DA: \(d_{DA}=\sqrt{{(3-2)^2+(7-5)^2}}=\sqrt{{1+4}}=\sqrt{{5}}\).

Шаг 3: Применим формулу для вычисления площади четырёхугольника, известной как "формула площади Гаусса":

\(S=\frac{1}{2}|(x_1y_2+x_2y_3+x_3y_4+x_4y_1)-(y_1x_2+y_2x_3+y_3x_4+y_4x_1)|\).

Здесь \(x_1, x_2, x_3, x_4\) - координаты вершин по оси абсцисс (x), а \(y_1, y_2, y_3, y_4\) - координаты вершин по оси ординат (y).

Подставим значения координат из нашего примера:

\(S=\frac{1}{2}|(2 \cdot 3 + 6 \cdot 6 + 8 \cdot 7 + 3 \cdot 5) - (5 \cdot 6 + 3 \cdot 8 + 6 \cdot 5 + 7 \cdot 2)|\).

\(S=\frac{1}{2}|(6 + 36 + 56 + 15) - (30 + 24 + 30 + 14)|\).

\(S=\frac{1}{2}|113 - 98|\).

\(S=\frac{1}{2}|15|\).

\(S=\frac{1}{2} \cdot 15\).

\(S=7.5\).

Шаг 4: Ответ: Площадь данного четырёхугольника составляет 7.5 квадратных сантиметров.