Какие значения x являются стационарными точками для функции y=x^3/3-3x^2+5x-2?

Raduzhnyy_Mir

27

Для того чтобы найти стационарные точки функции, мы должны найти значения \(x\), при которых производная функции равна нулю или не существует.

Для данной функции, давайте найдем производную функции \(y\):

\[y = \frac{x^3}{3} - 3x^2 + 5x - 2\]

Для нахождения производной функции \(y\) по \(x\), нам нужно применить правило дифференцирования для каждого слагаемого в функции.

\(\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}\)

Таким образом, возьмем производные каждого слагаемого по отдельности:

\(\frac{d}{dx}(\frac{x^3}{3}) = \frac{1}{3} \cdot 3x^{3-1} = x^2\)

\(\frac{d}{dx}(-3x^2) = -3 \cdot 2x^{2-1} = -6x\)

\(\frac{d}{dx}(5x) = 5 \cdot 1x^{1-1} = 5\)

\(\frac{d}{dx}(-2) = 0\) (константа дифференцируется в ноль)

Теперь найдем производную функции \(y\) путем сложения производных каждого слагаемого:

\(\frac{dy}{dx} = x^2 - 6x + 5\)

Теперь, чтобы найти стационарные точки, мы приравниваем производную к нулю и решаем уравнение:

\[x^2 - 6x + 5 = 0\]

Данное уравнение является квадратным уравнением. Чтобы найти его корни, мы можем использовать метод дискриминанта или завершения квадрата.

Применим метод дискриминанта для нахождения корней этого квадратного уравнения.

Дискриминант \(D\) для квадратного уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\), заданного в общем виде, рассчитывается по формуле:

\[D = b^2 - 4ac\]

В нашем случае, \(a = 1\), \(b = -6\) и \(c = 5\). Подставим значения в формулу дискриминанта:

\[D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16\]

Так как дискриминант \(D\) положителен (\(D > 0\)), то у уравнения есть два различных корня.

Корни \(x\) могут быть найдены с использованием формулы:

\[x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}\]

Подставим значения в формулу и рассчитаем оба корня:

\[x_1 = \frac{-(-6) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 + 4}{2} = \frac{10}{2} = 5\]

\[x_2 = \frac{-(-6) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{6 - 4}{2} = \frac{2}{2} = 1\]

Таким образом, стационарными точками функции являются \(x = 5\) и \(x = 1\). Они являются значениями \(x\), при которых производная функции равна нулю.