Каким должно быть значение высоты каждой из трех частей падения шарика, чтобы время прохождения каждой части было

Lapulya_1211

11

Для решения данной задачи, давайте воспользуемся законами движения тела в свободном падении.

Наши неизвестные - высоты каждой из трех частей падения шарика. Пусть \(h_1, h_2, h_3\) - высоты соответственно первой, второй и третьей частей падения.

Известно, что модуль начальной скорости движения шарика равняется скорости, с которой шарик движется при падении. Пусть это значение обозначается как \(v_0\).

Для каждой части падения можно записать уравнение из закона сохранения энергии:

1. Для первой части падения:
\[h_1 = \frac{{v_0^2}}{{2g}}\]
где \(g\) - ускорение свободного падения, приближенно равное 9.8 м/с² на поверхности Земли.

2. Для второй части падения нет влияния силы и шарик движется с постоянной скоростью, равной скорости в конце первой части падения \(v_1\). Так как время прохождения каждой части должно быть одинаковым, то для второй части время \(t_2\) равно времени первой части \(t_1\):
\[t_2 = t_1 = \frac{{v_1}}{{g}}\]
а скорость \(v_1\) в конце первой части равна:
\[v_1 = v_0 - gt_1\]

3. Для третьей части падения:
\[h_3 = v_1t_2 + \frac{{gt_2^2}}{2}\]

Мы хотим, чтобы времена прохождения каждой части были одинаковыми. То есть \(t_1 = t_2\). Из уравнений выше можно заменить значения \(t_1\) и \(v_1\), чтобы получить уравнение для третьей части падения \(h_3\) только через известные значения.

Подставляем значение \(v_1\) в уравнение для третьей части падения:
\[h_3 = (v_0 - gt_1)t_1 + \frac{{g(t_1)^2}}{2}\]

Теперь нужно выразить \(t_1\) через высоты \(h_1\) и \(h_2\). Для этого используем уравнение первой части падения:
\[h_1 = \frac{{v_0^2}}{{2g}}\]
Так как \(v_0 = gt_1\) \(t_1\) можно выразить через \(h_1\) и \(g\):
\[t_1 = \frac{{2h_1}}{{g}}\]

Теперь подставим это значение в уравнение для третьей части:
\[h_3 = (v_0 - g\frac{{2h_1}}{{g}})(\frac{{2h_1}}{{g}}) + \frac{{g(\frac{{2h_1}}{{g}})^2}}{2}\]

Упрощаем это уравнение:
\[h_3 = 2h_1 + h_1 = 3h_1\]

Таким образом, мы получили, что \(h_3 = 3h_1\). Чтобы время прохождения каждой части падения было одинаковым, высота третьей части должна быть в 3 раза больше первой части, то есть \(h_3 = 3h_1\).

Ответ: значение высоты каждой из трех частей падения шарика должно быть в соотношении 1:1:3 (первая часть : вторая часть : третья часть).