Каким методом можно использовать для решения системы уравнений: 3x+2y+z=5, 2x+3y+z=1, 2x+y+3z=11?

Солнце_2154

34

Для решения данной системы уравнений можно воспользоваться методом Гаусса-Жордана или методом Крамера. В этом случае мы будем использовать метод Гаусса-Жордана, который позволяет привести систему к ступенчатому виду и найти значения переменных.

1. Запишем систему уравнений:
\[
\begin{align*}
3x + 2y + z &= 5 \\
2x + 3y + z &= 1 \\
2x + y + 3z &= 11 \\
\end{align*}
\]

2. Создадим расширенную матрицу системы, добавив правую часть уравнений:
\[
\begin{bmatrix}
3 & 2 & 1 & | & 5 \\
2 & 3 & 1 & | & 1 \\
2 & 1 & 3 & | & 11 \\
\end{bmatrix}
\]

3. Приведём расширенную матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований строк. Элементарные преобразования строк включают в себя прибавление или вычитание одной строки из другой, умножение строки на число и перестановку строк. Наша цель - привести матрицу к такому виду, чтобы сверху слева была единичная матрица, а все элементы ниже главной диагонали равнялись нулю.

4. Опишем преобразования шаг за шагом:
a) Делим первую строку на 3:
\[
\begin{bmatrix}
1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & | & \frac{5}{3} \\
2 & 3 & 1 & | & 1 \\
2 & 1 & 3 & | & 11 \\
\end{bmatrix}
\]

b) Вычитаем из второй строки удвоенную первую строку:
\[
\begin{bmatrix}
1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & | & \frac{5}{3} \\
0 & 2 & \frac{1}{3} & | & -\frac{7}{3} \\
2 & 1 & 3 & | & 11 \\
\end{bmatrix}
\]

c) Вычитаем из третьей строки удвоенную первую строку:
\[
\begin{bmatrix}
1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & | & \frac{5}{3} \\
0 & 2 & \frac{1}{3} & | & -\frac{7}{3} \\
0 & -\frac{1}{3} & \frac{5}{3} & | & \frac{13}{3} \\
\end{bmatrix}
\]

d) Умножим вторую строку на \(\frac{1}{2}\), чтобы получить коэффициент 1 перед переменной y:
\[
\begin{bmatrix}
1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & | & \frac{5}{3} \\
0 & 1 & \frac{1}{6} & | & -\frac{7}{6} \\
0 & -\frac{1}{3} & \frac{5}{3} & | & \frac{13}{3} \\
\end{bmatrix}
\]

e) Вычитаем из третьей строки одну третью второй строки:
\[
\begin{bmatrix}
1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & | & \frac{5}{3} \\
0 & 1 & \frac{1}{6} & | & -\frac{7}{6} \\
0 & 0 & \frac{4}{3} & | & \frac{15}{2} \\
\end{bmatrix}
\]

5. Привели матрицу к ступенчатому виду. Осталось привести матрицу к диагональному виду, где все элементы над и под главной диагональю равны нулю.
a) Умножим третью строку на \(\frac{3}{4}\):
\[
\begin{bmatrix}
1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & | & \frac{5}{3} \\
0 & 1 & \frac{1}{6} & | & -\frac{7}{6} \\
0 & 0 & 1 & | & \frac{15}{8} \\
\end{bmatrix}
\]

b) Вычитаем из второй строки одну шестую третьей строки:
\[
\begin{bmatrix}
1 & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} & | & \frac{5}{3} \\
0 & 1 & 0 & | & -\frac{1}{2} \\
0 & 0 & 1 & | & \frac{15}{8} \\
\end{bmatrix}
\]

c) Вычитаем из первой строки одну третьей строки и удваиваем первую строку:
\[
\begin{bmatrix}
1 & \frac{2}{3} & 0 & | & -\frac{5}{8} \\
0 & 1 & 0 & | & -\frac{1}{2} \\
0 & 0 & 1 & | & \frac{15}{8} \\
\end{bmatrix}
\]

6. Теперь система уравнений является диагональной:
\[
\begin{align*}
x & = -\frac{5}{8} - \frac{2}{3}y \\
y & = -\frac{1}{2} \\
z & = \frac{15}{8} \\
\end{align*}
\]

Итак, решение данной системы уравнений: \(x = -\frac{5}{8} - \frac{2}{3}y\), \(y = -\frac{1}{2}\), \(z = \frac{15}{8}\).