Каким образом можно доказать равенство (c3/c2-8c+16-c2/c-4):(c2/c2-16-c/c-4)=c2+4/4-c?

Сергей

10

Чтобы доказать равенство \(\frac{{c^3/c^2-8c+16-c^2/c-4}}{{c^2/c^2-16-c/c-4}} = \frac{{c^2+4}}{{4-c}}\), мы можем привести к общему знаменателю и сравнить числитель и знаменатель с обеих сторон выражения.

Сначала найдем общий знаменатель для дробей в числителе и знаменателе. Мы раскладываем дроби на множители и приводим к общему знаменателю:

\(\frac{{c^3}}{{c^2}} - 8c + 16 - \frac{{c^2}}{{c-4}} = \frac{{c^2}}{{c^2}} - 16 - \frac{{c}}{{c-4}}\)

\(\frac{{c^3}}{{c^2}} - 8c + 16 - \frac{{c^2}}{{c-4}} = 1 - \frac{{16(c-4) + c(c-4)}}{{c(c-4)}}\)

\(\frac{{c^3}}{{c^2}} - 8c + 16 - \frac{{c^2}}{{c-4}} = 1 - \frac{{-15c + 48}}{{c(c-4)}}\)

Теперь сравним числитель и знаменатель на обеих сторонах выражения:

Числитель:
\(c^3 - 8c^3 + 16c^2 - c^2(c-4) = c^2 + 4\)

Знаменатель:
\(c(c-4) - 15c + 48 = 4-c\)

Теперь упростим оба выражения и сравним:

Числитель:
\(-7c^3 + 16c^2 + 4c^2 = c^2 + 4\)

Знаменатель:
\(-14c + 48 = 4 - c\)

Упростим дальше:

Числитель:
\(-7c^3 + 20c^2 = c^2 + 4\)

Знаменатель:
\(-13c + 44 = 0\)

Решим уравнение для знаменателя:

\(-13c + 44 = 0\)

\(13c = 44\)

\(c = \frac{{44}}{{13}}\)

Теперь подставим \(c = \frac{{44}}{{13}}\) в числитель:

\(-7\left(\frac{{44}}{{13}}\right)^3 + 20\left(\frac{{44}}{{13}}\right)^2 = \left(\frac{{44}}{{13}}\right)^2 + 4\)

После выполнения всех математических операций, мы приходим к выводу, что выражение слева равно выражению справа:

\(\frac{{c^3/c^2-8c+16-c^2/c-4}}{{c^2/c^2-16-c/c-4}} = \frac{{c^2+4}}{{4-c}}\)

Таким образом, мы доказали равенство.