Какое максимальное значение принимает функция y=16x-5sinx+3 на интервале [-п/2

Савелий

39

Для решения данной задачи, мы должны найти максимальное значение функции \(y = 16x - 5\sin(x) + 3\) на интервале \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\).

1. Найдем критические точки функции:
Для этого возьмем производную функции и приравняем ее к нулю:
\[\frac{dy}{dx} = 16 - 5\cos(x) = 0\]

Теперь решим уравнение:
\[16 - 5\cos(x) = 0\]
\[5\cos(x) = 16\]
\[\cos(x) = \frac{16}{5}\]

Находим обратный косинус от \(\frac{16}{5}\):
\[x = \cos^{-1}\left(\frac{16}{5}\right)\]
\[x \approx 0.7227\]

2. Так как интервал задан как \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\), проверим значения функции в концах интервала и в найденной критической точке.

Подставим \(x = - \frac{\pi}{2}\) в функцию:
\[y = 16\left(- \frac{\pi}{2}\right) - 5\sin\left(- \frac{\pi}{2}\right) + 3\]
\[y = -8\pi + 5 + 3 \approx -8\pi + 8\]

Теперь подставим \(x = \frac{\pi}{2}\) в функцию:
\[y = 16\left(\frac{\pi}{2}\right) - 5\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + 3\]
\[y = 8\pi + 5 + 3 \approx 8\pi + 8\]

Наконец, подставим \(x \approx 0.7227\) в функцию:
\[y \approx 16(0.7227) - 5\sin(0.7227) + 3\]

Находим значение синуса угла \(0.7227\):
\[\sin(0.7227) \approx 0.6565\]

Теперь вычисляем значение \(y\):
\[y \approx 11.5632\]

3. Сравним полученные значения \(y\) - -8\pi + 8, 8\pi + 8 и 11.5632, и выберем наибольшее значение. Получим, что максимальное значение функции \(y = 16x - 5\sin(x) + 3\) на интервале \([- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]\) равно примерно 11.5632.

Пожалуйста, обратите внимание, что в данном решении использованы значение числа \(\pi\) и приближенные значения для синуса и арккосинуса, чтобы получить приближенное числовое значение максимального значения функции.