Каким образом можно представить умножение каждого члена геометрической прогрессии в виде формулы?

  • 46
Каким образом можно представить умножение каждого члена геометрической прогрессии в виде формулы?
Zagadochnyy_Peyzazh
67
Умножение каждого члена геометрической прогрессии можно представить в виде формулы с помощью основного свойства геометрической прогрессии.

Пусть первый член прогрессии равен \(a\), а знаменатель прогрессии (отношение каждого члена к предыдущему) равен \(r\). Тогда \(n\)-ый член прогрессии будет равен \(a \cdot r^{n-1}\), где \(n\) - номер члена прогрессии.

Обоснование:
Для выведения этой формулы рассмотрим пример геометрической прогрессии:

Пусть у нас есть геометрическая прогрессия с первым членом \(a = 2\) и знаменателем \(r = 3\).
Теперь вычислим несколько членов этой прогрессии:

Первый член: \(a_1 = a = 2\)
Второй член: \(a_2 = a \cdot r = 2 \cdot 3 = 6\)
Третий член: \(a_3 = a \cdot r^2 = 2 \cdot 3^2 = 18\)
Четвёртый член: \(a_4 = a \cdot r^3 = 2 \cdot 3^3 = 54\)

Здесь мы можем заметить закономерность: каждый следующий член прогрессии получается путем умножения предыдущего члена на знаменатель \(r\). Таким образом, для нахождения \(n\)-го члена мы просто умножаем первый член \(a\) на \(r^{n-1}\).

Итак, описанная формула \(a_n = a \cdot r^{n-1}\) позволяет представить умножение каждого члена геометрической прогрессии в виде математической формулы.