Каким образом можно представить вектор SM в виде комбинации векторов FS, FP и FQ, если R - точка пересечения медиан

Mango

33

Для представления вектора \(\overrightarrow{SM}\) в виде комбинации векторов \(\overrightarrow{FS}\), \(\overrightarrow{FP}\) и \(\overrightarrow{FQ}\) воспользуемся свойствами параллелограмма.

Мы знаем, что вектор \(\overrightarrow{SR}\) является медианой треугольника \(\triangle SPQ\), поэтому точка \(R\) представляет собой середину отрезка \(PQ\). Также, векторы \(\overrightarrow{FR}\) и \(\overrightarrow{MR}\) - это половины векторов \(\overrightarrow{FQ}\) и \(\overrightarrow{MQ}\) соответственно.

Теперь, чтобы представить вектор \(\overrightarrow{SM}\) в виде комбинации векторов \(\overrightarrow{FS}\), \(\overrightarrow{FP}\) и \(\overrightarrow{FQ}\), мы можем сделать следующее:

\[
\overrightarrow{SM} = \overrightarrow{SR} + \overrightarrow{RM}
\]

\[
= \frac{1}{2}\overrightarrow{FQ} + \frac{1}{2}\overrightarrow{MQ}
\]

\[
= \frac{1}{2}(\overrightarrow{FQ} + \overrightarrow{MQ})
\]

\[
= \frac{1}{2}(\overrightarrow{FQ} + \overrightarrow{FQ} + \overrightarrow{FP})
\]

\[
= \frac{1}{2}(2\overrightarrow{FQ} + \overrightarrow{FP})
\]

\[
= \overrightarrow{FQ} + \frac{1}{2}\overrightarrow{FP}
\]

Таким образом, вектор \(\overrightarrow{SM}\) может быть представлен в виде комбинации векторов \(\overrightarrow{FS}\), \(\overrightarrow{FP}\) и \(\overrightarrow{FQ}\) следующим образом: \(\overrightarrow{SM} = \overrightarrow{FQ} + \frac{1}{2}\overrightarrow{FP}\).