Какова вероятность того, что случайно выбранная точка внутри прямоугольника (со сторонами 1 и 2) окажется ближе

Иванович_7582

18

Чтобы найти вероятность данного события, сначала нужно определить область, внутри которой находятся точки, которые окажутся ближе к ближайшей стороне прямоугольника, чем на расстоянии 0,1. Затем нужно определить общую площадь прямоугольника и вычислить отношение площади этой области к общей площади прямоугольника.

Давайте решим эту задачу по шагам:

Шаг 1: Определение области точек, удовлетворяющих условию

Пусть точка выбрана с координатами (x, y), где x - расстояние до ближайшей стороны длиной 1, а y - расстояние до ближайшей стороны длиной 2.

Так как точка может находиться в любом месте внутри прямоугольника, она может находиться внутри прямоугольного параллелограмма, образованного удлиненными сторонами прямоугольника.

\[
\begin{align*}
0 \leq x \leq 1 \\
0 \leq y \leq 2
\end{align*}
\]

Шаг 2: Вычисление области, внутри которой находятся точки, удовлетворяющие условию

Область, в которой точка находится ближе к одной из сторон прямоугольника, чем на расстоянии 0,1, представляет собой область между двумя прямыми, удаленными от стороны прямоугольника на расстояние 0,1 внутри прямоугольника.

Для стороны длиной 1:

\[
x \leq 0.1 \quad \text{или} \quad x \geq 0.9
\]

Для стороны длиной 2:

\[
y \leq 0.1 \quad \text{или} \quad y \geq 1.9
\]

Для нахождения площади этой области нужно вычислить площади двух треугольников, образованных из прямоугольной области и двух частей прямоугольника внутри треугольников.

Шаг 3: Вычисление площади области, удовлетворяющей условию

Для нахождения площади треугольника используется формула:

\[
S = \frac{1}{2} \times \text{основание} \times \text{высота}
\]

Площадь треугольника для стороны длиной 1:

\[
S_1 = \frac{1}{2} \times (0.1 + 0.1) \times 2 = 0.2
\]

Площадь треугольника для стороны длиной 2:

\[
S_2 = \frac{1}{2} \times 1 \times (0.1 + 0.1) = 0.1
\]

Общая площадь области, удовлетворяющей условию:

\[
S_{\text{общ}} = S_1 + S_2 = 0.2 + 0.1 = 0.3
\]

Шаг 4: Вычисление общей площади прямоугольника

Общая площадь прямоугольника равна произведению его сторон:

\[
S_{\text{прямоугольника}} = 1 \times 2 = 2
\]

Шаг 5: Вычисление вероятности

Вероятность того, что случайно выбранная точка внутри прямоугольника окажется ближе к ближайшей стороне прямоугольника, чем на расстоянии 0,1, равна отношению площади области, удовлетворяющей условию, к общей площади прямоугольника:

\[
P = \frac{S_{\text{общ}}}{S_{\text{прямоугольника}}} = \frac{0.3}{2} = 0.15
\]

Получаем, что вероятность того, что случайно выбранная точка внутри прямоугольника окажется ближе к ближайшей стороне прямоугольника, чем расстояние 0,1, равна 0,15 или 15%.