Каким образом можно решить данное уравнение, используя дискриминант?

Орел

36

Конечно! Чтобы решить уравнение с помощью дискриминанта, нам нужно сначала записать уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\),где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты этого уравнения.

Дискриминант (обозначается как \(D\)) является ключевым понятием, которое поможет нам определить, какие значения \(x\) являются решениями уравнения. Он вычисляется по формуле:

\[D = b^2 - 4ac.\]

Если дискриминант больше нуля (\(D > 0\)), уравнение имеет два различных вещественных корня. Если дискриминант равен нулю (\(D = 0\)), уравнение имеет один вещественный корень. Если дискриминант меньше нуля (\(D < 0\)), уравнение не имеет вещественных корней.

1. Выражаем уравнение в общем виде: \(ax^2 + bx + c = 0\).

2. Вычисляем дискриминант: \(D = b^2 - 4ac\).

3. Проверяем значение дискриминанта:
- Если \(D > 0\), уравнение имеет два различных вещественных корня.
- Если \(D = 0\), уравнение имеет один вещественный корень.
- Если \(D < 0\), уравнение не имеет вещественных корней.

4. Если уравнение имеет корни, вычисляем их:
- Для случая \(D > 0\), корни можно найти по формулам:
\[x_1 = \frac{{-b + \sqrt{D}}}{{2a}}\]
\[x_2 = \frac{{-b - \sqrt{D}}}{{2a}}\]
- Для случая \(D = 0\), корень можно найти по формуле:
\[x = \frac{{-b}}{{2a}}\]

Вот подробный пример решения уравнения с использованием дискриминанта:
Пусть дано уравнение \(2x^2 + 5x + 2 = 0\).
1. Записываем уравнение в общем виде: \(2x^2 + 5x + 2 = 0\).
2. Вычисляем дискриминант: \(D = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 25 - 16 = 9\).
3. Поскольку \(D > 0\), уравнение имеет два различных вещественных корня.
4. Подставляем значения в формулы для расчета корней:
\[x_1 = \frac{{-5 + \sqrt{9}}}{{2 \cdot 2}} = \frac{{-5 + 3}}{{4}} = -\frac{1}{2}\]
\[x_2 = \frac{{-5 - \sqrt{9}}}{{2 \cdot 2}} = \frac{{-5 - 3}}{{4}} = -2\]

Таким образом, уравнение \(2x^2 + 5x + 2 = 0\) имеет два вещественных корня: \(-\frac{1}{2}\) и \(-2\).