Каковы размеры участка, при которых длина окружающего забора будет минимальной, если его площадь составляет

Летающий_Космонавт

30

Для решения этой задачи нам понадобится некоторое математическое обоснование. Пусть участок имеет форму прямоугольника, где одна из его сторон будет выступать в качестве периметра забора. Обозначим длину прямоугольника за \( x \), а ширину за \( y \).

Из условия задачи известно, что площадь участка составляет определенное значение. Например, пусть площадь равна \( A \). Мы можем записать это в виде уравнения:

\[ xy = A \]

Теперь давайте найдем выражение для периметра забора. Периметр прямоугольника - это сумма всех его сторон. В данном случае, имеется две стороны длиной \( x \) и две стороны длиной \( y \). Таким образом, периметр можно выразить следующим образом:

\[ P = 2x + 2y \]

Нам нужно найти такие \( x \) и \( y \), при которых периметр будет минимальным. Для этого мы можем использовать известные методы оптимизации. В данном случае, мы можем воспользоваться методом нахождения экстремума функции одной переменной.

Для начала, найдем выражение для периметра \( P \) в зависимости от \( x \) (или \( y \)). Для этого мы можем использовать выражение для площади \( xy = A \) и решить его относительно \( x \):

\[ x = \frac{A}{y} \]

Подставим это в уравнение для периметра:

\[ P = 2\left(\frac{A}{y}\right) + 2y \]

Теперь мы имеем выражение для периметра \( P \) только в зависимости от \( y \). Для нахождения минимального значения, возьмем производную этого выражения по \( y \) и приравняем ее к нулю:

\[ \frac{dP}{dy} = -\frac{2A}{y^2} + 2 = 0 \]

Решим это уравнение относительно \( y \):

\[ -\frac{2A}{y^2} + 2 = 0 \Rightarrow \frac{2A}{y^2} = 2 \Rightarrow \frac{A}{y^2} = 1 \]

Отсюда мы можем найти значение \( y \):

\[ y^2 = A \Rightarrow y = \sqrt{A} \]

Теперь мы можем подставить это значение обратно в уравнение для площади:

\[ x = \frac{A}{y} = \frac{A}{\sqrt{A}} = \sqrt{A} \]

Таким образом, размеры участка, при которых длина окружающего забора будет минимальной, составляют \( x = y = \sqrt{A} \). Это означает, что участок должен иметь форму квадрата со стороной, равной корню из площади.