Каким образом можно решить уравнение 4^(6x-x^2-4) - 34^(6x-x^2-4) + 64

Matvey_6956

44

Для решения данного уравнения мы должны использовать некоторые свойства степеней и знаки операций. Давайте разберемся шаг за шагом:

Шаг 1: Рассмотрим выражение \(4^{6x - x^2 - 4}\). Заметим, что в этом выражении присутствует основание 4, поэтому мы можем применить свойства степеней, а именно: \[a^{b+c} = a^b \cdot a^c.\]

В нашем случае, у нас есть \(4^{6x - x^2 - 4} = 4^{6x} \cdot 4^{-x^2} \cdot 4^{-4}.\)

Шаг 2: Рассмотрим выражение \(-34^{6x-x^2-4}\). Аналогично шагу 1, мы можем разбить это выражение на несколько частей с использованием свойств степеней: \(-34^{6x - x^2 - 4} = -34^{6x} \cdot 34^{-x^2} \cdot 34^{-4}.\)

Шаг 3: Теперь объединим результаты шагов 1 и 2. Получим:
\[4^{6x} \cdot 4^{-x^2} \cdot 4^{-4} - 34^{6x} \cdot 34^{-x^2} \cdot 34^{-4} + 64.\]

Шаг 4: Мы видим, что в этом выражении у нас есть общий множитель \(64 = 4^3.\) Мы можем применить правило общего множителя:
\[4^{6x} \cdot 4^{-x^2} \cdot 4^{-4} - 34^{6x} \cdot 34^{-x^2} \cdot 34^{-4} + 64 = 4^{-x^2} \cdot (4^{6x} \cdot 4^{-4} - 34^{6x} \cdot 34^{-x^2} \cdot 34^{-4} + 4^3).\]

Шаг 5: Теперь мы можем заметить, что \(4^{-4} = \frac{1}{4^4} = \frac{1}{256},\) а \(34^{-4} = \frac{1}{34^4}.\)
Подставляем эти значения и получаем:
\[4^{-x^2} \cdot (4^{6x} \cdot \frac{1}{256} - 34^{6x} \cdot 34^{-x^2} \cdot \frac{1}{34^4} + 4^3).\]

Шаг 6: Поскольку \(4^{6x}\) и \(4^{-x^2}\) являются обратными друг другу степенями одного и того же числа, мы можем применить свойство степеней и сократить их:
\[4^{6x} \cdot \frac{1}{256} = \frac{4^{6x}}{256} = \frac{1}{4^{6x-8}}.\]

Шаг 7: Аналогично для \(34^{6x}\) и \(34^{-x^2}\) можем получить:
\(34^{6x} \cdot 34^{-x^2} \cdot \frac{1}{34^4} = \frac{34^{6x}}{34^{x^2} \cdot 34^4} = \frac{1}{34^{x^2+4-6x}}.\)

Шаг 8: Подставляем результаты шагов 6 и 7 в выражение и упрощаем:
\[4^{-x^2} \cdot (\frac{1}{4^{6x-8}} - \frac{1}{34^{x^2+4-6x}} + 4^3).\]

Шаг 9: На данном этапе у нас осталось решить уравнение:
\[4^{-x^2} \cdot (\frac{1}{4^{6x-8}} - \frac{1}{34^{x^2+4-6x}} + 4^3) = 64.\]

Шаг 10: Теперь мы можем упростить это уравнение с использованием свойства натурального логарифма:
\[4^{-x^2} \cdot (\frac{1}{4^{6x-8}} - \frac{1}{34^{x^2+4-6x}} + 4^3) = 4^3.\]

Шаг 11: Поскольку основания степеней равны, а степени смещены относительно друг друга, мы можем сократить общий множитель:
\[4^{-x^2} \cdot (\frac{1}{4^{6x-8}} - \frac{1}{34^{x^2+4-6x}}) = 1.\]

Шаг 12: Для решения этого уравнения мы можем воспользоваться обратными свойствами степеней:
\[4^{-x^2} = \frac{1}{4^{x^2}}.\]

Подставляем это значение и получаем:
\[\frac{1}{4^{x^2}} \cdot (\frac{1}{4^{6x-8}} - \frac{1}{34^{x^2+4-6x}}) = 1.\]

Шаг 13: Теперь у нас есть дробь, а ее значения равно 1. Это означает, что числитель и знаменатель равны:
\[\frac{1}{4^{x^2}} = \frac{1}{4^{6x-8}} - \frac{1}{34^{x^2+4-6x}}.\]

Шаг 14: Обратите внимание, что для решения уравнения нам понадобятся два корня квадратных. Разделим оба выражения на \(\frac{1}{4^{x^2}}\) и получим:
\[1 = \frac{4^{6x-8}}{4^{x^2}} - \frac{1}{34^{x^2+4-6x}}.\]

Шаг 15: Для удобства приведем дроби к общему знаменателю 4:
\[1 = \frac{4^{6x-8}}{4^{x^2}} - \frac{4^{x^2}}{4^{x^2} \cdot 34^{x^2+4-6x}}.\]

Шаг 16: Теперь у нас осталось решить уравнение с одной неизвестной:
\[1 = 4^{6x-8 - x^2} - \frac{1}{4^{4x^2+ 4 - 6x}}.\]

Шаг 17: Решить это уравнение аналитически нетривиально. Можно воспользоваться численными методами, чтобы приближенно найти решение. Или сделать предположение о значении \(x\) и проверить его в уравнении.

Шаг 18: Завершение решения оставляем вам или вашему учителю. Удачи в решении уравнения!