Каким образом можно записать уравнения прямых, проходящих через диагональ AD и DC параллелограмма, заданного

Yakorica

52

Чтобы записать уравнения прямых, проходящих через диагональ AD и DC параллелограмма, заданного координатами трех своих вершин: A(-1; 1), B(1; 7) и D(7; -3), мы можем использовать следующий подход:

1. Найдем координаты точки С, которая является последней вершиной параллелограмма. Для этого можно воспользоваться свойством параллелограмма, согласно которому вектор, соединяющий противоположные вершины, имеет равные координаты. Так как A и D - противоположные вершины, мы можем использовать их координаты для нахождения С.

Координата x С: \(x_C = x_A + x_D = -1 + 7 = 6\)
Координата y С: \(y_C = y_A + y_D = 1 + (-3) = -2\)

Таким образом, координаты точки C равны (6, -2).

2. Теперь мы можем использовать уравнение прямой, чтобы найти уравнение прямой, проходящей через точки A и D. Для этого мы можем использовать точку-наклон \(P\) и наклон \(m\).

Точка-наклон \(P\) = (x, y), где \(x = x_A\), \(y = y_A\)
Наклон \(m = \frac{{y_D-y_A}}{{x_D-x_A}}\)

Заменив в формуле значения A и D, мы получаем:

Наклон \(m = \frac{{(-3)-1}}{{7-(-1)}} = -\frac{{4}}{{8}} = -\frac{{1}}{{2}}\)

Точка-наклон \(P = (-1, 1)\), наклон \(m = -\frac{{1}}{{2}}\)

3. Используя уравнение прямой в точке-наклоне, мы можем записать уравнение прямой, проходящей через точки A и D:

\(y - y_A = m(x - x_A)\)
\(y - 1 = -\frac{{1}}{{2}}(x - (-1))\)
\(y - 1 = -\frac{{1}}{{2}}(x + 1)\)
\(y - 1 = -\frac{{1}}{{2}}x - \frac{{1}}{{2}}\)
\(y = -\frac{{1}}{{2}}x - \frac{{1}}{{2}}+ 1\)
\(y = -\frac{{1}}{{2}}x + \frac{{1}}{{2}}\)

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки A и D, записывается как \(y = -\frac{{1}}{{2}}x + \frac{{1}}{{2}}\).

4. Повторим те же шаги для уравнения прямой, проходящей через точки D и C:

Точка-наклон \(P\) = (x, y), где \(x = x_D\), \(y = y_D\)
Наклон \(m = \frac{{y_C-y_D}}{{x_C-x_D}}\)

Заменив в формуле значения D и C, мы получаем:

Наклон \(m = \frac{{(-2)-(-3)}}{{6-7}} = \frac{{1}}{{-1}} = -1\)

Точка-наклон \(P = (7, -3)\), наклон \(m = -1\)

\(y - y_D = m(x - x_D)\)
\(y - (-3) = -1(x - 7)\)
\(y + 3 = -x + 7\)
\(y = -x + 7 - 3\)
\(y = -x + 4\)

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки D и C, записывается как \(y = -x + 4\).

Таким образом, уравнения прямых, проходящих через диагональ AD и DC параллелограмма, заданного координатами трех своих вершин: A(-1; 1), B(1; 7) и D(7; -3), записываются как:
\[
\begin{align*}
y &= -\frac{1}{2}x + \frac{1}{2} \quad \text{(прямая через точки A и D)} \\
y &= -x + 4 \quad \text{(прямая через точки D и C)}
\end{align*}
\]

Надеюсь, это пошаговое объяснение помогло вам понять, как записать уравнения прямых, проходящих через диагональ AD и DC параллелограмма, заданного координатами вершин.