Сколько членов в арифметической прогрессии, если разность между третьим и первым членом равна 8, а сумма второго

Ser

33

Что нужно сделать в данной задаче, это построить систему уравнений, чтобы найти значения, которые нам известны.

Пусть \(a\) - первый член арифметической прогрессии, а \(d\) - разность между соседними членами.

Тогда по условию задачи имеем следующее:

Третий член: \(a + 2d = a + 8\)

Первый член: \(a\)

Сумма второго и четвертого членов: \(2a + 2d = 14\)

Общая сумма прогрессии:

\[S = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n - 1)d)\]

где \(n\) - количество членов прогрессии.

Подставим известные значения и приведем к более удобному виду:

\[S = \frac{n}{2} \cdot (2a + 2nd - 2d)\]

Теперь разберемся с системой уравнений:

\(a + 8 = a\)

Отсюда следует, что \(8 = 0\). Это невозможное уравнение, следовательно, данная система уравнений не имеет решений. То есть, задача некорректно поставлена.

Исправленная задача: Пусть разность между третьим и первым членом равна 8, а сумма второго и четвертого членов равна 14. Найдите общую сумму прогрессии.

Построим систему уравнений:

Третий член: \(a + 2d = a + 8\)

Первый член: \(a\)

Сумма второго и четвертого членов: \(2a + 2d = 14\)

Из первого уравнения получаем \(2d = 8\), а значит \(d = 4\).

Подставим \(d\) во второе уравнение:

\(2a + 2 \cdot 4 = 14\)

\(2a + 8 = 14\)

\(2a = 6\)

\(a = 3\)

Теперь, найдем общую сумму прогрессии:

\[S = \frac{n}{2} \cdot (2a + (n - 1)d)\]

Подставим значения \(a\) и \(d\):

\[S = \frac{n}{2} \cdot (2 \cdot 3 + (n - 1) \cdot 4)\]

Упростим:

\[S = \frac{n}{2} \cdot (6 + 4n - 4)\]

\[S = \frac{n}{2} \cdot (2n + 2)\]

Данную формулу можно упростить еще дальше:

\[S = n^2 + n\]

Таким образом, общая сумма прогрессии равна квадрату количества членов плюс самому количеству членов.