Каким способом можно определить последнюю цифру числа 12^39+13^41? Объясните пожалуйста

Suslik

56

Для определения последней цифры числа \(12^{39} + 13^{41}\) можно использовать свойства цикличности чисел.

У каждого числа есть периодическая последовательность последних цифр степеней, она называется циклом числа. Для числа 12 последние цифры степеней будут повторяться следующим образом: 12, 44, 68, 92, 16, 40, 64, 88, 12, 44, и так далее. Обратите внимание, что последняя цифра числа 12 возвращается через каждые 4 степени.

Аналогично, для числа 13 цикл будет выглядеть так: 13, 69, 97, 41, 73, 09, 37, 81, 13, 69 и так далее. В этом случае, последняя цифра числа 13 возвращается через каждые 4 степени.

Теперь мы можем воспользоваться данной информацией для определения последней цифры суммы \(12^{39} + 13^{41}\).

Поскольку цикл последних цифр чисел 12 и 13 имеет длину 4, нам нужно найти остаток от деления каждой степени на 4. Если остаток равен 0, то последняя цифра будет совпадать с последней цифрой первого члена цикла, то есть 12 или 13 соответственно. Если остаток равен 1, то последняя цифра будет совпадать со вторым членом цикла (44 или 69), и так далее.

Теперь найдем остатки от деления 39 и 41 на 4.

Остаток от деления 39 на 4 равен 3, а остаток от деления 41 на 4 равен 1.

Таким образом, чтобы определить последнюю цифру числа \(12^{39} + 13^{41}\), мы должны взять третий член цикла числа 12 и первый член цикла числа 13, и сложить их.

Третий член цикла числа 12 — это 68, и первый член цикла числа 13 — это 13. Таким образом, последняя цифра числа \(12^{39} + 13^{41}\) будет равна 81.