Каким значением x нужно заменить в уравнении 7^4-x=3,5*2^4-x?

Звонкий_Эльф_5036

2

Для решения данной задачи, мы будем искать значение x, которое удовлетворяет уравнению \(7^{4-x} = 3.5 \cdot 2^{4-x}\). Давайте решим его пошагово:

Шаг 1: Приведение уравнения к одному основанию
Мы заметим, что оба члена уравнения содержат степени с разными основаниями, \(7\) и \(2\). Чтобы уравнение было проще, можно привести его части к одному и тому же основанию.

Давайте преобразуем \(7^{4-x}\) к основанию \(2\):
\(7 = 2^{log_2(7)}\), где \(log_2(7)\) - логарифм числа \(7\) по основанию \(2\).

Таким образом, уравнение преобразуется в:
\((2^{log_2(7)})^{4-x} = 3.5 \cdot 2^{4-x}\)

Теперь мы имеем два члена с одним основанием.

Шаг 2: Использование свойств степеней
Теперь, когда у нас есть оба члена уравнения с одним основанием, мы можем использовать свойства степеней.

Правило гласит: \((a^b)^c = a^{b \cdot c}\), где \(a\), \(b\), и \(c\) являются рациональными числами.

Применим это правило к нашим членам:
\((2^{log_2(7)})^{4-x} = (2^{log_2(7)}) \cdot 2^{-x} = 3.5 \cdot 2^{4-x}\)

Теперь у нас есть уравнение с одним основанием и одной неизвестной.

Шаг 3: Запись уравнения без экспонент
Чтобы избавиться от экспоненты в уравнении, мы можем использовать следующее правило:
\(a^{-b} = \frac{1}{a^b}\), где \(a\) - любое ненулевое число, и \(b\) - рациональное число.

Применим это к нашему уравнению:
\(\frac{{2^{log_2(7)}}}{{2^x}} = 3.5\)

Теперь мы можем представить экспонентные части в виде дробей с одним основанием.

Шаг 4: Применение свойства логарифмов
Для решения уравнения с переменной в показателе степени, мы можем применить свойство логарифмов: \(log_a(b^{c}) = c \cdot log_a(b)\), где \(a\), \(b\), и \(c\) -- положительные числа.

Применим это к нашему уравнению:
\(log_2(7) - x \cdot log_2(2) = log_2(3.5)\)

Теперь мы привели уравнение к виду, в котором переменная x находится не в показателе степени.

Шаг 5: Решение уравнения относительно x
Чтобы выразить x, давайте изолируем его на одной стороне уравнения, перенеся все другие члены на противоположную сторону:

\(x \cdot log_2(2) = log_2(7) - log_2(3.5)\)
\(x = \frac{{log_2(7) - log_2(3.5)}}{{log_2(2)}}\)

Основание логарифма \(log_2(2)\) равно 1, поэтому \(x = log_2(7) - log_2(3.5)\).

Шаг 6: Вычисление значения x
Теперь давайте вычислим значение x, подставив значения \(log_2(7)\) и \(log_2(3.5)\) в уравнение. Округлим ответ до нужной точности:

\(x = log_2(7) - log_2(3.5) \approx 1.169925\)

Таким образом, значение x, которое удовлетворяет уравнению \(7^{4-x} = 3.5 \cdot 2^{4-x}\), составляет примерно 1.169925.