Каким значениям k соответствует биквадратное уравнение x4-36x2+2k=0, имеющее 4 корня? При

Vechnyy_Put

44

Для начала, давайте запишем данное биквадратное уравнение:

\[x^4 - 36x^2 + 2k = 0\]

Мы знаем, что биквадратное уравнение имеет 4 корня, значит, у уравнения должно быть 4 различных решения. Для определения значений k, которым соответствуют 4 корня, нужно разобрать несколько случаев.

Если уравнение имеет 4 различных корня, то его можно представить как произведение двух квадратных трехчленов.

Используя метод подстановки, мы можем записать:

\[x^4 - 36x^2 + 2k = (x^2 + a)(x^2 - a)\]

Умножим эти два квадратных трехчлена:

\[(x^2 + a)(x^2 - a) = x^4 - a^2\]

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях x в левой и правой части уравнения:

Сравнивая коэффициенты при \(x^4\), получаем: 1 = 1

Сравнивая коэффициенты при \(x^2\), получаем: -36 = -a^2

Из второго равенства можно найти значение \(a^2\):

\[a^2 = 36\]

Поскольку мы ищем 4 различных корня, то \(a\) должно быть ненулевым и неотрицательным. Следовательно, мы можем записать:

\[a = 6 \quad \text{или} \quad a = -6\]

Теперь, чтобы найти значения k, нужно подставить найденные значения a в исходное уравнение:

При \(a = 6\):

\[x^4 - 36x^2 + 2k = (x^2 + 6)(x^2 - 6)\]

Раскроем скобки:

\[x^4 - 36x^2 + 2k = x^4 - 36\]

Теперь сравним коэффициенты при одинаковых степенях x:

Сравнивая коэффициенты при \(x^2\), получаем: -36 = -36, значения совпадают

Таким образом, при \(a = 6\) значение k не имеет значения, все значения k подходят.

При \(a = -6\):

\[x^4 - 36x^2 + 2k = (x^2 - 6)(x^2 + 6)\]

Раскроем скобки:

\[x^4 - 36x^2 + 2k = x^4 - 36\]

Сравнивая коэффициенты при \(x^2\), получаем: -36 = -36, значения совпадают

Таким образом, при \(a = -6\) значение k также не имеет значения, все значения k подходят.

Итак, необходимые значения k, при которых биквадратное уравнение \(x^4 - 36x^2 + 2k = 0\) имеет 4 различных корня, представляющихся в виде \(x^2 + a\) и \(x^2 - a\), являются любыми действительными числами.