Какими должны быть размеры открытого прямоугольного канала с площадью сечения 4,5 м^2, чтобы минимизировать смачиваемую

Vladimirovna_5721

54

Чтобы найти оптимальные размеры открытого прямоугольного канала, которые минимизируют смачиваемую площадь и уменьшают трение жидкости о стены и дно канала, мы будем использовать принцип Ферма.

Для начала, давайте обозначим стороны канала как \(x\) и \(y\), где \(x\) - это ширина, а \(y\) - это высота канала. Общая площадь сечения будет равна произведению этих сторон: \(xy = 4.5\) (в квадратных метрах).

Когда жидкость движется по поверхности, возникает трение между насосом и стенами канала. Чтобы минимизировать трение, мы можем воспользоваться формулой Пуазейля, которая связывает расход жидкости с площадью сечения и силой трения. Формула Пуазейля имеет следующий вид:

\[F = \frac{{kSv^2}}{{2g}}\]

где \(F\) - это сила трения, \(k\) - это коэффициент трения, \(S\) - это смачиваемая площадь, \(v\) - это скорость жидкости, \(g\) - это ускорение свободного падения.

Наша цель - минимизировать смачиваемую площадь \(S\) и уменьшить трение, поэтому мы должны стремиться к наименьшему значению \(S\). Для этого нам нужно сделать стороны канала как можно больше.

Теперь обратимся к принципу Ферма. Этот принцип гласит, что площадь прямоугольника с заданной периметром будет наибольшей, когда он является квадратом. В нашем случае, периметр прямоугольника - это \(2x + 2y\), но у нас есть ограничение, что площадь сечения должна быть равна 4,5 \(м^2\).

Используя метод оптимизации, мы можем решить задачу с помощью метода подстановки. Подставим выражение \(y =\frac{{4.5}}{{x}}\) в формулу площади сечения:

\[xy = x \cdot \frac{{4.5}}{{x}} = 4.5\]

Теперь возьмем производную этого уравнения и приравняем ее к нулю, чтобы найти экстремум:

\[\frac{{d(4.5)}}{{dx}} = 0\]

Из этого получаем:

\[\frac{{d(4.5)}}{{dx}} = 1 - \frac{{4.5}}{{x^2}} = 0\]

Разрешим это уравнение:

\[1 = \frac{{4.5}}{{x^2}}\]

\[x^2 = 4.5\]

\[x = \sqrt{4.5}\]

\[x = \sqrt{4.5} \approx 2.121\]

Теперь мы можем найти значение \(y\) с помощью выражения \(y = \frac{{4.5}}{{x}}\):

\[y = \frac{{4.5}}{{\sqrt{4.5}}} \approx 2.121\]

Таким образом, оптимальные размеры открытого прямоугольного канала с площадью сечения 4,5 \(м^2\) будут около 2,121 метра (или округленно 2 метра) по ширине и 2,121 метра (или округленно 2 метра) по высоте. Эти размеры минимизируют смачиваемую площадь и уменьшают трение жидкости о стены и дно канала.