Какое будет новое соотношение объемов в вертикальном закрытом сверху и снизу цилиндре с движущимся поршнем без трения

Тропик

68

Для решения задачи о соотношении объемов в вертикальном цилиндре с движущимся поршнем без трения и с одним и тем же газом над поршнем и под ним, мы можем использовать закон Бойля-Мариотта и идеальный газовый закон.

Закон Бойля-Мариотта утверждает, что при неизменной температуре объем газа обратно пропорционален давлению газа. Идеальный газовый закон утверждает, что давление газа пропорционально его температуре и количеству вещества, а также обратно пропорционально его объему.

Пусть \(V_1\) и \(V_2\) - объемы верхней и нижней частей цилиндра соответственно, \(P_1\) и \(P_2\) - давления газа над поршнем и под ним соответственно, и \(T_1\) и \(T_2\) - температуры газа над поршнем и под ним соответственно.

По условиям задачи, массы газа над поршнем и под ним одинаковы, а температура повышается до 400K.

Таким образом, у нас есть следующие соотношения:
\(V_2 = \frac{1}{3}V_1\) - объем нижней части цилиндра составляет треть объема верхней части,
\(T_1 = 300K\) - исходная температура газа над поршнем,
\(T_2 = 400K\) - измененная температура газа под поршнем.

Теперь мы можем применить идеальный газовый закон для определения соотношения давлений газа над поршнем и под ним.

Идеальный газовый закон можно записать в следующей форме:
\(P_1V_1 = nRT_1\)
\(P_2V_2 = nRT_2\)

Где \(n\) - количество вещества (константа), а \(R\) - универсальная газовая постоянная.

Так как газ идентичен как над поршнем, так и под ним, количество вещества \(n\) остается неизменным.

Для удобства выражем \(nR\) как \(k\):
\(P_1V_1 = kT_1\)
\(P_2V_2 = kT_2\)

Теперь подставим известные значения:
\(P_1V_1 = k(300)\)
\(P_2V_2 = k(400)\)

Используя соотношение \(V_2 = \frac{1}{3}V_1\), мы можем заменить \(V_2\) во втором уравнении:
\(P_2(\frac{1}{3}V_1) = k(400)\)
\(\frac{P_2}{3}V_1 = k(400)\)
\(P_2V_1 = 3k(400)\)

Теперь мы можем сравнить выражения \(P_1V_1\) и \(P_2V_1\):
\(P_1V_1 = k(300)\)
\(P_2V_1 = 3k(400)\)

Очевидно, что \(P_2V_1\) равно 3 раза \(P_1V_1\).

Таким образом, новое соотношение объемов в вертикальном цилиндре будет: \(\frac{P_2V_1}{P_1V_1} = 3\)

Ответ: новое соотношение объемов будет равно 3.