Какое будет перемещение большого поршня гидравлического пресса, если малый поршень переместился на 2 см? Площадь малого

Ангелина

48

Для решения данной задачи, мы можем воспользоваться принципом Архимеда и уравнением Гюйгенса-Стейнера, которые позволяют рассчитать перемещение поршня в гидравлическом прессе.

Применим принцип Архимеда, который гласит, что на любое тело, погруженное в жидкость, действует сила поддержания, равная весу жидкости, вытесненной телом. В этом случае, масса жидкости, вытесненной малым поршнем, будет равна массе гири, установленной на него:

\[ m_1 = m_\text{ж} \]

Зная, что масса гири равна 2 кг, а объем жидкости равен площади малого поршня, умноженной на его перемещение, получим:

\[ m_\text{ж} = V_\text{ж} \cdot \rho = S_1 \cdot h_1 \cdot \rho \]

где:
\( V_\text{ж} \) - объем жидкости,
\( \rho \) - плотность жидкости (в данной задаче можно считать плотностью воды),

Таким образом, имеем:

\[ S_1 \cdot h_1 \cdot \rho = m_1 = 2 \, \text{кг} \]

Теперь, применим уравнение Гюйгенса-Стейнера для гидравлического пресса, которое связывает перемещение большого поршня с перемещением малого поршня:

\[ F_1 \cdot h_1 = F_2 \cdot h_2 \]

где:
\( F_1 \) и \( F_2 \) - силы, действующие на малый и большой поршни соответственно,
\( h_1 \) и \( h_2 \) - перемещения малого и большого поршней.

Так как площадь большого поршня составляет 50 квадратных сантиметров, а площадь малого поршня - 5 квадратных сантиметров, отсюда получаем:

\[ \frac{F_1}{F_2} = \frac{S_2}{S_1} = \frac{50}{5} = 10 \]

Перепишем уравнение Гюйгенса-Стейнера, используя найденное соотношение:

\[ F_1 \cdot h_1 = 10 \cdot F_2 \cdot h_2 \]

Мы уже знаем, что масса гири \( m_1 \) равна 2 кг, а сила \( F_1 \) равна весу гири:

\[ F_1 = m_1 \cdot g \]

где \( g \) - ускорение свободного падения (приближенно равно 9.8 м/с²).

Теперь, применим уравнение плотности:

\[ F_1 = S_1 \cdot h_1 \cdot \rho \cdot g \]

Подставим выражения для \( F_1 \) и \( F_2 \) в уравнение Гюйгенса-Стейнера:

\[ S_1 \cdot h_1 \cdot \rho \cdot g \cdot h_1 = 10 \cdot S_2 \cdot h_2 \cdot \rho \cdot g \cdot h_2 \]

Сокращаем общие множители:

\[ h_1^2 = 10 \cdot h_2^2 \]

Теперь, найдем перемещение большого поршня \( h_2 \). Для этого разделим обе части уравнения на 10:

\[ \frac{h_1^2}{10} = h_2^2 \]

\[\sqrt{\frac{h_1^2}{10}} = h_2 \]

\[\frac{h_1}{\sqrt{10}} = h_2 \]

Подставляем данное значение в выражение для перемещения малого поршня:

\[ h_1 = 2 \, \text{см} = 20 \, \text{мм} \]

\[ h_2 = \frac{20 \, \text{мм}}{\sqrt{10}} \approx 6.32 \, \text{мм} \]

Округляем до целых чисел. Получаем, что перемещение большого поршня составляет 6 мм (округляя 6.32 мм до целых чисел).

Таким образом, перемещение большого поршня гидравлического пресса в данной задаче составляет 6 миллиметров.