Какое будет примерное изменение значения функции y=3x^2+5x+1 при значениях x=3; ∆x=0,01?

Парящая_Фея_1764

30

Хорошо! Давайте посмотрим нашу функцию \( y = 3x^2 + 5x + 1 \) и узнаем, как она изменяется при заданных значениях \( x = 3 \) и \( \Delta x = 0.01 \).

Сначала найдем значение функции при \( x = 3 \). Подставляем \( x = 3 \) в нашу функцию:

\[ y = 3 \cdot 3^2 + 5 \cdot 3 + 1 = 3 \cdot 9 + 15 + 1 = 27 + 15 + 1 = 43 \]

Таким образом, при \( x = 3 \), значение функции \( y \) равно 43.

Теперь давайте узнаем, как изменится значение функции при приращении \( \Delta x = 0.01 \).

Мы можем использовать производную функции, чтобы найти изменение функции по времени и аппроксимировать приращение. Производная \( y"(x) \) функции \( y \) это:

\[ y"(x) = \frac{{dy}}{{dx}} = \frac{{d}}{{dx}} (3x^2 + 5x + 1) \]

Для удобства, найдем производные отдельно для каждого члена в нашей функции:

\[ \frac{{d}}{{dx}} (3x^2) = 6x \]
\[ \frac{{d}}{{dx}} (5x) = 5 \]
\[ \frac{{d}}{{dx}} (1) = 0 \]

Теперь объединим все частные производные:

\[ y"(x) = 6x + 5 \]

Теперь, чтобы найти приращение \( \Delta y \) функции при приращении \( \Delta x = 0.01 \), мы можем использовать следующую формулу:

\[ \Delta y \approx y"(x) \cdot \Delta x \]

Подставим значения:

\[ \Delta y \approx (6x + 5) \cdot \Delta x = (6 \cdot 3 + 5) \cdot 0.01 \]

\[ \Delta y \approx (18 + 5) \cdot 0.01 = 23 \cdot 0.01 = 0.23 \]

Таким образом, изменение значения функции \( y \) при \( x = 3 \) и \( \Delta x = 0.01 \) примерно равно 0.23.

Пожалуйста, обратите внимание, что наш ответ является приближенным, так как мы использовали аппроксимацию приращения с помощью производной.