Какое будет расстояние от начала координат до частицы в момент времени t=1c, если частица начинает движение из точки
Какое будет расстояние от начала координат до частицы в момент времени t=1c, если частица начинает движение из точки с радиус-вектором r=(j-k)*C и скорость зависит от времени по закону v(t)=i*A t/T+j*B (t/T)^2 , где A, B, C - постоянные величины, i, j, k - единичные орты в декартовой системе координат. Значения A=3м/с, B=4м/с, C=5м/с, а T=1c.
Апельсиновый_Шериф 47
Для решения этой задачи нам понадобится использовать формулу для вычисления пути \( s \) в зависимости от времени \( t \) и скорости \( v(t) \).У нас дано уравнение скорости \( v(t) = i \cdot A \cdot \frac{t}{T} + j \cdot B \cdot \left(\frac{t}{T}\right)^2 \), где \( A = 3 \, \text{м/с} \), \( B = 4 \, \text{м/с} \) и \( T = 1 \, \text{с} \).
Для начала, давайте найдем путь \( s \) до момента времени \( t = 1 \, \text{с} \).
Для этого мы должны проинтегрировать нашу скорость по времени от \( t = 0 \) до \( t = 1 \).
\[
s = \int_{0}^{1} v(t) \, dt
\]
Возьмем интеграл для каждой компоненты скорости по отдельности.
Для компоненты \( i \) мы имеем:
\[
\begin{align*}
s_i &= \int_{0}^{1} i \cdot A \cdot \frac{t}{T} \, dt \\
&= i \cdot A \cdot \frac{1}{T} \int_{0}^{1} t \, dt \\
&= i \cdot A \cdot \frac{1}{T} \cdot \left[\frac{t^2}{2}\right]_{0}^{1} \\
&= i \cdot A \cdot \frac{1}{T} \cdot \left(\frac{1^2}{2} - \frac{0^2}{2}\right) \\
&= i \cdot A \cdot \frac{1}{T} \cdot \frac{1}{2} \\
&= \frac{1}{2} \cdot i \cdot A
\end{align*}
\]
Для компоненты \( j \) мы имеем:
\[
\begin{align*}
s_j &= \int_{0}^{1} j \cdot B \cdot \left(\frac{t}{T}\right)^2 \, dt \\
&= j \cdot B \cdot \int_{0}^{1} \left(\frac{t}{T}\right)^2 \, dt \\
&= j \cdot B \cdot \left[\frac{t^3}{3 \cdot T^2}\right]_{0}^{1} \\
&= j \cdot B \cdot \left(\frac{1^3}{3 \cdot T^2} - \frac{0^3}{3 \cdot T^2}\right) \\
&= j \cdot B \cdot \frac{1}{3 \cdot T^2} \\
&= \frac{1}{3 \cdot T^2} \cdot j \cdot B
\end{align*}
\]
Для компоненты \( k \) мы имеем:
Так как в уравнении скорости компонента \( k \) равна нулю, то интеграл от нее также будет равен нулю.
\[
s_k = 0
\]
Теперь мы можем получить общую формулу для пути \( s \):
\[
s = s_i + s_j + s_k = \frac{1}{2} \cdot i \cdot A + \frac{1}{3 \cdot T^2} \cdot j \cdot B
\]
Подставим значения постоянных величин:
\[
s = \frac{1}{2} \cdot i \cdot 3 \, \text{м/с} + \frac{1}{3 \cdot (1 \, \text{с})^2} \cdot j \cdot 4 \, \text{м/с} = \frac{3}{2} \cdot i + \frac{4}{3} \cdot j
\]
Таким образом, расстояние от начала координат до частицы в момент времени \( t = 1 \, \text{с} \) составляет \( \frac{3}{2} \cdot i + \frac{4}{3} \cdot j \), где \( i \) и \( j \) - единичные орты в декартовой системе координат.