Какое будет уравнение окружности, полученной после поворота исходной окружности с уравнением (x-3)^2+(y+2)^2=16 на угол

Yarus

39

Чтобы найти уравнение окружности после поворота, сначала нужно найти новые координаты центра окружности после поворота на 90 градусов против часовой стрелки. Для этого мы можем использовать формулы поворота точки на плоскости.

Формулы поворота точки на плоскости против часовой стрелки на угол \(\theta\) вокруг точки \((a, b)\) выглядят следующим образом:

\[
\begin{{align*}}
x" &= (x-a)\cos\theta - (y-b)\sin\theta + a \\
y" &= (x-a)\sin\theta + (y-b)\cos\theta + b \\
\end{{align*}}
\]

где \((x", y")\) - новые координаты точки, \((x, y)\) - исходные координаты точки, \((a, b)\) - координаты центра поворота, \(\theta\) - угол поворота.

В данной задаче, у нас исходная окружность с центром в точке \((3, -2)\) и радиусом 4. После поворота на 90 градусов против часовой стрелки относительно точки \((4, -1)\), мы будем использовать эти координаты как центр поворота.

Используя формулы поворота, мы можем найти новые координаты центра окружности после поворота:

\[
\begin{{align*}}
x" &= (3-4)\cos(90^\circ) - (-2+1)\sin(90^\circ) + 4 \\
y" &= (3-4)\sin(90^\circ) + (-2+1)\cos(90^\circ) - 1 \\
\end{{align*}}
\]

Выполняя вычисления, получаем:

\[
\begin{{align*}}
x" &= -\cos(90^\circ) + 3 \\
y" &= \sin(90^\circ) - 3 \\
\end{{align*}}
\]

\(\cos(90^\circ)=0\) и \(\sin(90^\circ)=1\), запишем окончательные координаты:

\[
\begin{{align*}}
x" &= 0 + 3 = 3 \\
y" &= 1 - 3 = -2 \\
\end{{align*}}
\]

Таким образом, новые координаты центра окружности равны \((3, -2)\). Радиус окружности остается неизменным после поворота.

Теперь, используя найденные координаты центра и неизменный радиус, мы можем написать уравнение окружности после поворота:

\[
(x-3)^2+(y+2)^2=16
\]

Таким образом, уравнение окружности, полученной после поворота исходной окружности на 90 градусов против часовой стрелки относительно точки \((4, -1)\), будет \((x-3)^2+(y+2)^2=16\).