Какое будет значение выражения 2 + sin α, если ctg α равно – √7/3?

Магнитный_Магнат

59

Чтобы найти значение выражения \(2 + \sin \alpha\), мы должны знать значение функции \(\alpha\) и использовать его в данном выражении. У нас дано, что \(\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{\sqrt{7}}{3}\). Давайте раскроем это выражение и выразим \(\sin \alpha\).

Функцию \(\operatorname{ctg} \alpha\) можно представить как обратную функцию к тангенсу:
\[\operatorname{ctg} \alpha = \frac{1}{\tan \alpha}\]
Таким образом, мы можем записать:
\[\frac{1}{\tan \alpha} = -\frac{\sqrt{7}}{3}\]

Чтобы избавиться от знаменателя \(\tan \alpha\), мы умножим обе стороны уравнения на \(\tan \alpha\):
\[\tan \alpha \cdot \frac{1}{\tan \alpha} = \tan \alpha \cdot \left(-\frac{\sqrt{7}}{3}\right)\]
Тангенс и обратный тангенс являются взаимнообратными функциями, что значит, их значения сократятся:
1 = -\frac{\sqrt{7}}{3} \cdot \tan \alpha

Теперь у нас есть уравнение с одной переменной. Чтобы найти значение \(\tan \alpha\), мы можем перенести другие члены уравнения на противоположную сторону:
\frac{\sqrt{7}}{3} \cdot \tan \alpha = -1

Теперь делим обе стороны уравнения на \(\frac{\sqrt{7}}{3}\) чтобы изолировать \(\tan \alpha\):
\tan \alpha = \frac{-1}{\frac{\sqrt{7}}{3}}

Теперь мы можем вычислить значение функции \(\tan \alpha\). Поделим -1 на \(\frac{\sqrt{7}}{3}\):
\tan \alpha = \frac{-1}{\frac{\sqrt{7}}{3}} = -\frac{3}{\sqrt{7}}

Используя тригонометрическую тождества, мы можем выразить \(\sin \alpha\) через \(\tan \alpha\):
\sin \alpha = \frac{\tan \alpha}{\sqrt{1 + \tan^2 \alpha}}

Подставим значение \(\tan \alpha\) в это выражение и вычислим \(\sin \alpha\):
\sin \alpha = \frac{-\frac{3}{\sqrt{7}}}{\sqrt{1 + \left(-\frac{3}{\sqrt{7}}\right)^2}} = \frac{-3}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7+3^2}} = \frac{-3}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7+9}} = \frac{-3}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{16}} = \frac{-3}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{-3}{4}

Наконец, подставляем значение \(\sin \alpha\) в начальное выражение \(2 + \sin \alpha\):
2 + \sin \alpha = 2 + \left(\frac{-3}{4}\right) = \frac{8}{4} + \left(\frac{-3}{4}\right) = \frac{8-3}{4} = \frac{5}{4}

Таким образом, значение выражения \(2 + \sin \alpha\) равно \(\frac{5}{4}\) при условии \(\operatorname{ctg} \alpha = -\frac{\sqrt{7}}{3}\).