Найдите результат вычисления следующего выражения: Cotangent (- 3п/4) умножить на косинус 150 градусов, умножить

Артемович

40

Для начала, разберемся с тригонометрическими функциями и углами, которые встречаются в данном выражении.

Котангенс (cotangent) - это функция, которая определяется как обратное значение тангенса. Если \( \theta \) - угол, то котангенс этого угла вычисляется как \(\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}\).

Косинус (cosine) и синус (sine) - это две другие тригонометрические функции, которые зависят от угла. Косинус градуса \( \alpha \) вычисляется как \(\cos(\alpha)\), а синус радиана \( \beta \) вычисляется как \(\sin(\beta)\).

Теперь, приступим к решению задачи.

У нас есть выражение: \(\cot(-\frac{3\pi}{4}) * \cos(150^\circ) * \sin(\frac{5\pi}{3})\).

Давайте вычислим каждое слагаемое по отдельности:

1. \(\cot(-\frac{3\pi}{4})\):
Котангенс является обратным значением тангенса. Найдем тангенс угла \( -\frac{3\pi}{4} \).

Обратимся к тригонометрическому кругу и найдем точку на нем, которая соответствует углу \( -\frac{3\pi}{4} \).
Угол \( -\frac{3\pi}{4} \) находится в третьем квадранте, где значение тангенса положительно. Оно равно 1.

Следовательно, \(\cot(-\frac{3\pi}{4}) = \frac{1}{\tan(-\frac{3\pi}{4})} = \frac{1}{1} = 1\).

2. \(\cos(150^\circ)\):
Угол 150 градусов находится в третьем квадранте тригонометрического круга, где значение косинуса отрицательно.
Также мы знаем, что косинус угла 60 градусов равен \(\frac{1}{2}\).
Используя свойство косинуса, что он является четной функцией, мы можем выразить косинус угла 150 градусов через косинус 60 градусов:
\(\cos(150^\circ) = \cos(-30^\circ) = \cos(30^\circ) = \frac{1}{2}\).

3. \(\sin(\frac{5\pi}{3})\):
Угол \( \frac{5\pi}{3} \) находится в третьем квадранте тригонометрического круга, где значение синуса отрицательно.
Также мы знаем, что синус угла \( \frac{\pi}{3} \) равен \( \frac{\sqrt{3}}{2} \).
Используя свойство синуса, который является нечетной функцией, мы можем выразить синус угла \( \frac{5\pi}{3} \) через синус угла \( \frac{\pi}{3} \):
\( \sin(\frac{5\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \).

Теперь, перемножим полученные значения:

\( \cot(-\frac{3\pi}{4}) * \cos(150^\circ) * \sin(\frac{5\pi}{3}) = 1 * \frac{1}{2} * (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{-\sqrt{3}}{4} \).

Таким образом, результат вычисления данного выражения равен \( \frac{-\sqrt{3}}{4} \).