Какое целое значение аргумента является наименьшим в области определения функции y=√(x+12)(x-1)(x-9)?

Геннадий_1162

55

Чтобы найти наименьшее целое значение аргумента в области определения функции \( y = \sqrt{(x+12)(x-1)(x-9)} \), нам нужно рассмотреть область определения, в которой функция имеет смысл.

Для начала, мы замечаем, что мы не можем взять корень из отрицательного числа. Таким образом, выражение под знаком корня должно быть больше или равно нулю:

\[ (x+12)(x-1)(x-9) \geq 0 \]

Чтобы решить это неравенство, мы можем построить график функции или использовать метод интервалов. Воспользуемся вторым вариантом.

1) Найдем точки, в которых выражение может менять знак. Для этого приравняем его к нулю:

\[ (x+12)(x-1)(x-9) = 0 \]

Для выполнения этого уравнения, стоит найти корни каждого множителя:

\[ x + 12 = 0 \Rightarrow x = -12 \]
\[ x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1 \]
\[ x - 9 = 0 \Rightarrow x = 9 \]

2) Разобьем числовую прямую на интервалы, опираясь на найденные корни:

\[
\begin{align*}
(-\infty, -12) & : \text{Отрицательные множители} \\
(-12, 1) & : \text{Положительные первые два множителя, отрицательный третий} \\
(1, 9) & : \text{Положительные первые и третий множители, отрицательный второй} \\
(9, +\infty) & : \text{Положительные множители}
\end{align*}
\]

3) Определим знак на каждом интервале:

\[
\begin{align*}
(-\infty, -12) & : - \\
(-12, 1) & : + \\
(1, 9) & : - \\
(9, +\infty) & : +
\end{align*}
\]

4) Заметим, что нам нужны только интервалы, на которых выражение больше или равно нулю, так как мы ищем значения аргумента, при которых функция определена.

Таким образом, область определения функции \( y = \sqrt{(x+12)(x-1)(x-9)} \) состоит из трех интервалов: \((-12, 1)\), \((9, +\infty)\), соответствующих положительному значению функции, и интервала \((1, 9)\), соответствующему отрицательному значению функции.

Теперь, чтобы найти наименьшее целое значение аргумента, мы должны выбрать наименьший интервал.

Минимальный интервал - \((9, +\infty)\).

Таким образом, наименьшим целым значением аргумента является \( x = 10 \).