Какое число нужно выбрать, чтобы получить геометрическую прогрессию между числами 3 и 48? Вставьте три числа, которые

Shura

41

Для того чтобы найти число, которое должно встать в геометрическую прогрессию между числами 3 и 48, нам необходимо установить правило, по которому числа в прогрессии увеличиваются или уменьшаются.

Геометрическая прогрессия - это последовательность чисел, в которой каждый следующий элемент получается умножением предыдущего элемента на фиксированное число, называемое знаменателем прогрессии.

Обозначим искомое число как \(x\), а знаменатель прогрессии как \(q\). Согласно определению геометрической прогрессии, мы можем записать следующее уравнение:

\[3 \cdot q = x \cdot q^2\]

Так как мы знаем два числа, которые входят в геометрическую прогрессию - 3 и 48, мы можем записать два уравнения, используя эти значения:

\[3 \cdot q = x\]
\[48 \cdot q = x \cdot q^2\]

Теперь у нас есть система уравнений с двумя неизвестными - \(x\) и \(q\). Мы можем решить эту систему уравнений, используя метод подстановки или метод исключения. Давайте воспользуемся методом подстановки.

Подставим \(3 \cdot q\) во второе уравнение вместо \(x\):

\[48 \cdot q = (3 \cdot q) \cdot q^2\]

Распишем равенство:

\[48 \cdot q = 3 \cdot q^3\]

Теперь приведем это уравнение к кубическому виду, т.е. перенесем все члены на одну сторону:

\[3 \cdot q^3 - 48 \cdot q = 0\]

Нам надо решить это уравнение относительно \(q\). Найдем его корни. Уравнение может быть факторизовано следующим образом:

\[q \cdot (3 \cdot q^2 - 16) = 0\]

Получили два множителя: \(q\) и \(3 \cdot q^2 - 16\). Равенство равно нулю только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

1) Первый множитель \(q\) равен нулю:

\[q = 0\]

2) Второй множитель \(3 \cdot q^2 - 16\) равен нулю:

\[3 \cdot q^2 - 16 = 0\]

Теперь нам надо решить второе уравнение. Приведем его к стандартному виду:

\[3 \cdot q^2 = 16\]

Поделим обе части уравнения на 3:

\[q^2 = \frac{16}{3}\]

Чтобы найти значение \(q\), возьмем квадратный корень от обеих частей:

\[q = \pm \sqrt{\frac{16}{3}}\]

Вернемся к нашей системе уравнений и продолжим решение.

Возвращаясь к уравнению \(3 \cdot q = x\), мы можем подставить найденные значения \(q\) в это уравнение и найти соответствующие значения \(x\).

1) Когда \(q = 0\), оба числа в прогрессии равны друг другу и прогрессия состоит только из одного числа:

\[3 \cdot 0 = x\]
\[0 = x\]

2) Когда \(q = -\sqrt{\frac{16}{3}}\):

\[3 \cdot \left(-\sqrt{\frac{16}{3}}\right) = x\]
\[-\sqrt{\frac{48}{3}} = x\]
\[-\sqrt{16} = x\]
\[-4 = x\]

3) Когда \(q = \sqrt{\frac{16}{3}}\):

\[3 \cdot \sqrt{\frac{16}{3}} = x\]
\[\sqrt{\frac{48}{3}} = x\]
\[\sqrt{16} = x\]
\[4 = x\]

Итак, чтобы получить геометрическую прогрессию между числами 3 и 48, мы можем выбрать три числа: 0, -4 и 4.