Какое число Сергей смог точно назвать, если Дима написал пять натуральных чисел, и Катя вычислила все возможные

Веселый_Клоун_5887

13

Для решения данной задачи нам потребуется выполнить несколько шагов.

Шаг 1: Представим все пять чисел, написанных Димой, в виде \(a, b, c, d, e\).

Шаг 2: Вычислим все возможные попарные суммы чисел:

\[
\begin{align*}
a + b & = 81 \\
a + c & = 81 \\
a + d & = 81 \\
a + e & = 81 \\
b + c & = 81 \\
b + d & = 90 \\
b + e & = 90 \\
c + d & = 90 \\
c + e & = 90 \\
d + e & = 90 \\
\end{align*}
\]

Шаг 3: Сгруппируем уравнения по значениям попарных сумм:

\[
\begin{align*}
4a + b + c + d + e & = 324 \\
a + 2b + c + d + e & = 171 \\
a + b + 2c + d + e & = 171 \\
a + b + c + 2d + e & = 171 \\
a + b + c + d + 2e & = 171 \\
\end{align*}
\]

Шаг 4: Из полученных уравнений сгруппируем одинаковые коэффициенты:

\[
\begin{align*}
4a + b + c + d + e & = 324 \\
a + (2b + c + d + e) & = 171 \\
a + b + (2c + d + e) & = 171 \\
a + b + c + (2d + e) & = 171 \\
a + b + c + d + (2e) & = 171 \\
\end{align*}
\]

Шаг 5: Из второго уравнения выразим \((2b + c + d + e)\):

\[
2b + c + d + e = 171 - a
\]

Шаг 6: Подставим выражение в третье уравнение, тогда:

\[
a + b + (2c + d + e) = 171 \implies a + b + (171 - a) = 171 \implies b = 0
\]

Шаг 7: Подставим полученное значение в выражение \(2b + c + d + e = 171 - a\):

\[
2(0) + c + d + e = 171 - a \implies c + d + e = 171 - a
\]

Шаг 8: Подставим полученные значения \(b = 0\) и \(c + d + e = 171 - a\) в первое уравнение:

\[
4a + 0 + (171 - a) = 324 \implies 3a = 153 \implies a = 51
\]

Таким образом, Дима и Катя написали числа 51, 0, 51, 60 и 30, и Сергей мог точно назвать число 51.