Какое число удовлетворяет уравнению (8sin^2x+14sinx+5)*log3(cosx)=0? Время ограничено

Evgenyevich

35

Конечно, я могу помочь вам с решением этой задачи!

Первым шагом давайте рассмотрим уравнение и выясним, какие значения переменной \(x\) удовлетворяют ему.

Исходное уравнение имеет вид \((8\sin^2x+14\sin x+5)\log_3(\cos x)=0\).

Заметим, что для произведения двух чисел будет равно нулю только в том случае, если хотя бы одно из этих чисел равно нулю. Таким образом, чтобы найти значения переменной \(x\), удовлетворяющие уравнению, мы должны рассмотреть два случая: когда выражение в скобках равно нулю и когда логарифм равен нулю.

1. Первый случай: \(8\sin^2x+14\sin x+5=0\)

Мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Подставим коэффициенты \(a=8\), \(b=14\), \(c=5\) в формулу дискриминанта \(\Delta=b^2-4ac\):

\(\Delta=14^2-4\cdot 8\cdot 5=196-160=36\).

Поскольку дискриминант положительный (\(\Delta > 0\)), у уравнения есть два различных решения. Давайте найдем их.

Используем формулу для корней квадратного уравнения: \(x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}\).

Подставим значения коэффициентов в эту формулу и вычислим значения корней:

\(x_1=\frac{-14+\sqrt{36}}{2\cdot 8}=\frac{-14+6}{16}=\frac{-8}{16}=-\frac{1}{2}\)

\(x_2=\frac{-14-\sqrt{36}}{2\cdot 8}=\frac{-14-6}{16}=\frac{-20}{16}=-\frac{5}{4}\)

2. Второй случай: \(\log_3(\cos x)=0\)

Так как логарифм равен нулю только тогда, когда аргумент логарифма равен единице, мы можем записать \(\cos x=1\) и решить это уравнение.

Единственное значение \(x\), удовлетворяющее этому, является \(x=0\).

Таким образом, мы получили три значения переменной \(x\), удовлетворяющих исходному уравнению: \(x=-\frac{1}{2}\), \(x=-\frac{5}{4}\) и \(x=0\).

Надеюсь, это решение помогло вам! Если у вас возникнут еще вопросы, пожалуйста, не стесняйтесь задавать их.