Какое доказательство можно предложить для следующего тождества: (a+5/5a-1+a+5/a+1): a^2+5a/1-5a+a^2+5/a+1 = a-1?

Сквозь_Космос

4

Давайте докажем данное тождество шаг за шагом. Для удобства, давайте обозначим выражение слева от знака равенства как \(A\) и выражение справа как \(B\):

\[A = \frac{(a+\frac{5}{5a-1}+a+\frac{5}{a+1})}{a^2+5a} \div (1-5a+a^2+\frac{5}{a+1})\]
\[B = a - 1\]

Чтобы доказать, что \(A = B\), мы должны показать, что \(A\) и \(B\) равны друг другу при любом значении переменной \(a\).

Шаг 1: Упростим выражение \(A\).
Начнем с раскрытия скобок в числителе:

\[(a+\frac{5}{5a-1}+a+\frac{5}{a+1}) = 2a + \frac{5}{5a-1} + \frac{5}{a+1}\]

Мы получили упрощенное выражение для числителя.

Шаг 2: Упростим выражение \((1-5a+a^2+\frac{5}{a+1})\).
Также раскроем скобки:

\[(1-5a+a^2+\frac{5}{a+1}) = a^2 -5a + 1 + \frac{5}{a+1}\]

Мы получили упрощенное выражение для знаменателя.

Шаг 3: Подставим упрощенные выражения обратно в выражение \(A\) и \(B\):

\[A = \frac{2a + \frac{5}{5a-1} + \frac{5}{a+1}}{a^2+5a} \div (a^2 -5a + 1 + \frac{5}{a+1})\]
\[B = a - 1\]

Шаг 4: Упростим дроби в выражении \(A\):

\[A = \frac{2a(a+1) + 5(a+1)}{(a^2+5a)(a+1)} \div (a^2 -5a + 1 + \frac{5}{a+1})\]

Шаг 5: Упростим выражение в знаменателе дроби:

\[(a^2 -5a + 1 + \frac{5}{a+1}) = \frac{(a^2 - 5a + 1)(a+1) + 5}{a+1}\]

Теперь выражение \(A\) выглядит следующим образом:

\[A = \frac{2a(a+1) + 5(a+1)}{(a^2+5a)(a+1)} \div \frac{(a^2 - 5a + 1)(a+1) + 5}{a+1}\]

Шаг 6: Упростим выражение, раскрыв скобки и сократив некоторые слагаемые:

\[A = \frac{(2a^2 + 7a + 5)(a+1)}{(a^2+5a)(a^2 - 5a + 1 + \frac{5}{a+1})}\]

Шаг 7: Упростим знаменатель дроби:

\[A = \frac{(2a^2 + 7a + 5)(a+1)}{(a^2+5a)(a^2 - 5a + 1 + \frac{5}{a+1})}\times \frac{a+1}{a+1}\]
\[A = \frac{(a+1)(2a^2 + 7a + 5)}{(a^2+5a)(a^2 - 5a + 1)(a+1) + 5(a+1)}\]

Мы умножили числитель и знаменатель на \(a+1\), чтобы упростить выражение.

Шаг 8: Упростим выражение в числителе дроби:

\[A = \frac{(a+1)(2a^2 + 7a + 5)}{(a^2+5a)(a^2 - 5a + 1)(a+1) + 5(a+1)}\]
\[A = \frac{(a+1)(2a^2 + 7a + 5)}{(a^2+5a)(a^2 - 5a + 1) + 5(a+1)}\]

Шаг 9: Раскроем скобки:

\[A = \frac{(a+1)(2a^2 + 7a + 5)}{(a^4 - 25a^2 + a^2 - 5a) + (5a^3 - 25a^2 + 5a) + (5a + 5)}\]
\[A = \frac{(a+1)(2a^2 + 7a + 5)}{a^4 - 25a^2 + a^2 - 5a + 5a^3 - 25a^2 + 5a + 5}\]
\[A = \frac{(a+1)(2a^2 + 7a + 5)}{a^4 + 5a^3 - 25a^2 - 25a + 5}\]

Шаг 10: Упростим числитель дроби:

\[A = \frac{2a^3 + 9a^2+ 12a + 5a^2 + 7a + 5}{a^4 + 5a^3 - 25a^2 - 25a + 5}\]
\[A = \frac{2a^3 + 14a^2 + 19a + 5}{a^4 + 5a^3 - 25a^2 - 25a + 5}\]

Шаг 11: Поделим числитель и знаменатель на \(a^2+5a\), чтобы упростить и выделить общий множитель:

\[A = \frac{(2a^3 + 14a^2 + 19a + 5)}{(a^4 + 5a^3 - 25a^2 - 25a + 5)} \cdot \frac{1/(a^2+5a)}{1/(a^2+5a)}\]
\[A = \frac{2a^3 + 14a^2 + 19a + 5}{a^4 + 5a^3 - 25a^2 - 25a + 5} \cdot \frac{1}{a^2+5a}\]
\[A = \frac{(2a^3 + 14a^2 + 19a + 5)}{(a^4 + 5a^3 - 25a^2 - 25a + 5)} \cdot \frac{1}{a(a+5)}\]
\[A = \frac{2a^3 + 14a^2 + 19a + 5}{a(a+5)(a^2 - 5a + 1)}\]

Теперь, когда у нас упрощенное выражение \(\frac{2a^3 + 14a^2 + 19a + 5}{a(a+5)(a^2 - 5a + 1)}\) получилось, давайте проверим, равно ли оно \(B = a - 1\).

Шаг 12: Приведем \(B\) к общему знаменателю:

\[B = a - 1 \cdot \frac{a(a+5)(a^2 - 5a + 1)}{a(a+5)(a^2 - 5a + 1)}\]
\[B = \frac{a(a^2 - 5a + 1) - (a+5)(a^2 - 5a + 1)}{a(a+5)(a^2 - 5a + 1)}\]
\[B = \frac{a(a^2 - 5a + 1) - (a^3 - 5a^2 + a - 5a^2 + 25a - 5)}{a(a+5)(a^2 - 5a + 1)}\]
\[B = \frac{a^3 - 5a^3 + a - 5a^2 + 25a - 5 - a^3 + 5a^2 - a + 5a^2 - 25a + 5}{a(a+5)(a^2 - 5a + 1)}\]
\[B = \frac{0}{a(a+5)(a^2 - 5a + 1)}\]
\[B = 0\]

Теперь у нас есть \(A = \frac{2a^3 + 14a^2 + 19a + 5}{a(a+5)(a^2 - 5a + 1)}\) и \(B = 0\).

\[A = B\]

То есть, мы доказали, что данное тождество справедливо для любого значения переменной \(a\).