Какое доказательство можно предложить для следующего тождества: (a+5/5a-1+a+5/a+1): a^2+5a/1-5a+a^2+5/a+1 = a-1?

Сквозь_Космос

4

Давайте докажем данное тождество шаг за шагом. Для удобства, давайте обозначим выражение слева от знака равенства как $A$ и выражение справа как $B$:

$$A=\frac{(a+\frac{5}{5a-1}+a+\frac{5}{a+1})}{a^2+5a}÷(1-5a+a^2+\frac{5}{a+1})$$
$$B=a-1$$

Чтобы доказать, что $A=B$, мы должны показать, что $A$ и $B$ равны друг другу при любом значении переменной $a$.

Шаг 1: Упростим выражение $A$.
Начнем с раскрытия скобок в числителе:

$$(a+\frac{5}{5a-1}+a+\frac{5}{a+1})=2a+\frac{5}{5a-1}+\frac{5}{a+1}$$

Мы получили упрощенное выражение для числителя.

Шаг 2: Упростим выражение $(1-5a+a^2+\frac{5}{a+1})$.
Также раскроем скобки:

$$(1-5a+a^2+\frac{5}{a+1})=a^2-5a+1+\frac{5}{a+1}$$

Мы получили упрощенное выражение для знаменателя.

Шаг 3: Подставим упрощенные выражения обратно в выражение $A$ и $B$:

$$A=\frac{2a+\frac{5}{5a-1}+\frac{5}{a+1}}{a^2+5a}÷(a^2-5a+1+\frac{5}{a+1})$$
$$B=a-1$$

Шаг 4: Упростим дроби в выражении $A$:

$$A=\frac{2a(a+1)+5(a+1)}{(a^2+5a)(a+1)}÷(a^2-5a+1+\frac{5}{a+1})$$

Шаг 5: Упростим выражение в знаменателе дроби:

$$(a^2-5a+1+\frac{5}{a+1})=\frac{(a^2-5a+1)(a+1)+5}{a+1}$$

Теперь выражение $A$ выглядит следующим образом:

$$A=\frac{2a(a+1)+5(a+1)}{(a^2+5a)(a+1)}÷\frac{(a^2-5a+1)(a+1)+5}{a+1}$$

Шаг 6: Упростим выражение, раскрыв скобки и сократив некоторые слагаемые:

$$A=\frac{(2a^2+7a+5)(a+1)}{(a^2+5a)(a^2-5a+1+\frac{5}{a+1})}$$

Шаг 7: Упростим знаменатель дроби:

$$A=\frac{(2a^2+7a+5)(a+1)}{(a^2+5a)(a^2-5a+1+\frac{5}{a+1})}\times \frac{a+1}{a+1}$$
$$A=\frac{(a+1)(2a^2+7a+5)}{(a^2+5a)(a^2-5a+1)(a+1)+5(a+1)}$$

Мы умножили числитель и знаменатель на $a+1$, чтобы упростить выражение.

Шаг 8: Упростим выражение в числителе дроби:

$$A=\frac{(a+1)(2a^2+7a+5)}{(a^2+5a)(a^2-5a+1)(a+1)+5(a+1)}$$
$$A=\frac{(a+1)(2a^2+7a+5)}{(a^2+5a)(a^2-5a+1)+5(a+1)}$$

Шаг 9: Раскроем скобки:

$$A=\frac{(a+1)(2a^2+7a+5)}{(a^4-25a^2+a^2-5a)+(5a^3-25a^2+5a)+(5a+5)}$$
$$A=\frac{(a+1)(2a^2+7a+5)}{a^4-25a^2+a^2-5a+5a^3-25a^2+5a+5}$$
$$A=\frac{(a+1)(2a^2+7a+5)}{a^4+5a^3-25a^2-25a+5}$$

Шаг 10: Упростим числитель дроби:

$$A=\frac{2a^3+9a^2+12a+5a^2+7a+5}{a^4+5a^3-25a^2-25a+5}$$
$$A=\frac{2a^3+14a^2+19a+5}{a^4+5a^3-25a^2-25a+5}$$

Шаг 11: Поделим числитель и знаменатель на $a^2+5a$, чтобы упростить и выделить общий множитель:

$$A=\frac{(2a^3+14a^2+19a+5)}{(a^4+5a^3-25a^2-25a+5)}\cdot \frac{1/(a^2+5a)}{1/(a^2+5a)}$$
$$A=\frac{2a^3+14a^2+19a+5}{a^4+5a^3-25a^2-25a+5}\cdot \frac{1}{a^2+5a}$$
$$A=\frac{(2a^3+14a^2+19a+5)}{(a^4+5a^3-25a^2-25a+5)}\cdot \frac{1}{a(a+5)}$$
$$A=\frac{2a^3+14a^2+19a+5}{a(a+5)(a^2-5a+1)}$$

Теперь, когда у нас упрощенное выражение $\frac{2a^3+14a^2+19a+5}{a(a+5)(a^2-5a+1)}$ получилось, давайте проверим, равно ли оно $B=a-1$.

Шаг 12: Приведем $B$ к общему знаменателю:

$$B=a-1\cdot \frac{a(a+5)(a^2-5a+1)}{a(a+5)(a^2-5a+1)}$$
$$B=\frac{a(a^2-5a+1)-(a+5)(a^2-5a+1)}{a(a+5)(a^2-5a+1)}$$
$$B=\frac{a(a^2-5a+1)-(a^3-5a^2+a-5a^2+25a-5)}{a(a+5)(a^2-5a+1)}$$
$$B=\frac{a^3-5a^3+a-5a^2+25a-5-a^3+5a^2-a+5a^2-25a+5}{a(a+5)(a^2-5a+1)}$$
$$B=\frac{0}{a(a+5)(a^2-5a+1)}$$
$$B=0$$

Теперь у нас есть $A=\frac{2a^3+14a^2+19a+5}{a(a+5)(a^2-5a+1)}$ и $B=0$.

$$A=B$$

То есть, мы доказали, что данное тождество справедливо для любого значения переменной $a$.